Question

(UEPG-PR – Adaptada) Uma P.A. e uma P.G., crescentes, cada uma com três termos, têm a mesma razão. Sabe-se que a soma dos termos da P.A. adicionada à soma dos termos da P.G. é igual a 31, o primeiro termo da P.G. é igual a 1 e as razões são iguais ao primeiro termo da P.A. Nessas condições, a razão é:
A
um número par.

B
um múltiplo de 5.

C
um divisor de 6.

D
um múltiplo de 7.
E
um quadrado perfeit

Answer 1

$\sf P_A:(a, \ a+r,\ a+2r) \\\\ P_G: (b, \ b.q, \ b.q^2 )$

A questão diz que o primeiro termo da P.G é 1 e que as razões são iguais entre si e também o primeiro termo da P.A é igual a razão, ou seja, chamemos a razão de x, daí x = a = r = q  :

$\sf P_A : (x ,\ x+x \ , \ x+2x )\to P_A:(x\ ,2x,\ 3x) \\\\ P_G:(1, \ 1.x, \ 1.x.x)\to P_G:(1,\ x,\ x^2)$

A questão diz que a soma dos termos da PA com a soma dos termos da PG dá 31, então :

$\displaystyle \sf x+2x+3x+1+x+x^2=31\\\\ x^2 +7x+1-30 = 0 \\\\ x^2+7x-30=0\\\\ x = \frac{-7\pm\sqrt{7^2-4\cdot(-30)\cdot 1}}{2\cdot 1} \\\\\\ x =\frac{-7\pm\sqrt{49+120}}{2} \to x=\frac{-7\pm\sqrt{169}}{2} \\\\\\ x=\frac{-7\pm 13}{2} \to \left\{\begin{array}{I} \displaystyle \sf x = \frac{-7+13}{2}\to x =3 \\\\ \displaystyle \sf x=\frac{-7-13}{2}\to x = -10 \end{array}\right$

Já que a PA e a PG são crescentes, então o - 10 não convém, portanto :

$\huge\boxed{\begin{array}{I}\sf x = 3 \\\\\ \sf r = q = x = a = 3 \end{array}}\checkmark$

Letra c . a razão é um divisor  de 6