Question

Ajuda plz: Resolva o sistema linear abaixo por meio da Regra de Cramer.

Answer 1

Resolvendo o sistema linear, encontra-se x = 1, y = 2 e z = - 1.

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Temos um sistema linear 3x3. Vou reescrever suas equações para que possamos ver os coeficientes de todas as variáveis:

$\begin{cases}\sf x+2y=5\\\sf2x-y+3z=-\,3\\\sf y+z=1\end{cases}\!=~\begin{cases}\sf 1x+2y+0z=5\\\sf2x-1y+3z=-\,3\\\sf 0x+1y+1z=1\end{cases}$

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Por intermédio da regra de Cramer, o valor das variáveis serão obtidos por meio de determinantes:

$\boxed{\sf \bigg(x=\dfrac{det_x}{det},~y=\dfrac{det_y}{det},~z=\dfrac{det_z}{det}\bigg)}$

Assim, calcule o determinante “det” da matriz formada pelos coeficientes das variáveis do sistema [calculei-o pela regra de Sarrus, através de um procedimento não muito usual (coloquei sua representação em anexo)]:

$\sf\left[\begin{array}{ccc}\sf 1&\sf2&\sf0\\\sf2&\sf\!\!\!\!-\,1&\sf3\\\sf0&\sf1&\sf1\end{array}\right]\longrightarrow~ det=\left|\begin{array}{ccc}\sf 1&\sf2&\sf0\\\sf2&\sf\!\!\!\!-\,1&\sf3\\\sf0&\sf1&\sf1\end{array}\right|$

$\sf det=d_1-d_2=[1(-1)(1)+2(3)(0)+1(2)(0)]-[0(-1)(0)+2(2)(1)+1(3)(1)]$

$\sf det=-\,1+0+0-(0+4+3)$

$\sf det=-\,1-7$

$\sf det=-\,8$

⠀

Agora a ideia é usar essa mesma matriz para calcular os outros três determinantes.

detₓ é o det com a primeira coluna comutada pelos termos independentes (nossos termos independentes são 5, - 3 e 1, que são os números que independem das variáveis, encontrados no membro direito das equações). Assim:

$\sf\left[\begin{array}{ccc}\sf 5&\sf2&\sf0\\\sf\!\!\!\!-\,3&\sf\!\!\!\!-\,1&\sf3\\\sf1&\sf1&\sf1\end{array}\right]\longrightarrow~ det_x=\left|\begin{array}{ccc}\sf 5&\sf2&\sf0\\\sf\!\!\!\!-\,3&\sf\!\!\!\!-\,1&\sf3\\\sf1&\sf1&\sf1\end{array}\right|$

$\sf det_x=d_1-d_2=[5(-1)(1)+2(3)(1)+1(-3)(0)]-[0(-1)(1)+2(-3)(1)+1(3)(5)]$

$\sf det_x=-\,5+6+0-(0-6+15)$

$\sf det_x=1-9$

$\sf det_x=-\,8$

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det$\large\text{ \sf _{_{y}} }$ é o det com a segunda coluna comutada pelos termos independentes. Logo:

$\sf\left[\begin{array}{ccc}\sf 1&\sf5&\sf0\\\sf2&\sf\!\!\!\!-\,3&\sf3\\\sf0&\sf1&\sf1\end{array}\right]\longrightarrow~ det_y=\left|\begin{array}{ccc}\sf 1&\sf5&\sf0\\\sf2&\sf\!\!\!\!-\,3&\sf3\\\sf0&\sf1&\sf1\end{array}\right|$

$\sf det_y=d_1-d_2=[1(-3)(1)+5(3)(0)+1(2)(0)]-[0(-3)(0)+5(2)(1)+1(3)(1)]$

$\sf det_y=-\,3+0+0-(0+10+3)$

$\sf det_y=-\,3-13$

$\sf det_y=-\,16$

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Por fim, det$\sf _z$ é o det com a terceira coluna comutada pelos termos independentes:

$\sf\left[\begin{array}{ccc}\sf 1&\sf2&\sf5\\\sf2&\sf\!\!\!\!-\,1&\sf\!\!\!\!-\,3\\\sf0&\sf1&\sf1\end{array}\right]\longrightarrow~ det_z=\left|\begin{array}{ccc}\sf 1&\sf2&\sf5\\\sf2&\sf\!\!\!\!-\,1&\sf\!\!\!\!-\,3\\\sf0&\sf1&\sf1\end{array}\right|$

$\sf det_z=d_1-d_2=[1(-1)(1)+2(-3)(0)+1(2)(5)]-[5(-1)(0)+2(2)(1)+1(-3)(1)]$

$\sf det_z=-\,1+0+10-(0+4-3)$

$\sf det_z=9-1$

$\sf det_z=8$

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Substituindo o valor destes determinantes na fórmula que determina o valor das variáveis x, y e z, encontraremos o trio ordenado que é solução do sistema linear proposto:

$\sf x=\dfrac{det_x}{det},~y=\dfrac{det_y}{det},~z=\dfrac{det_z}{det}$

$\sf x=\dfrac{-\,8~~}{-\,8~~},~y=\dfrac{-\,16~~}{-\,8~~},~z=\dfrac{8}{-\,8~~}$

$\sf x=1,~y=2,~z=-\,1$

$\therefore~~\boxed{\boxed{\begin{array}{l}\\\sf S=\big\{\big(1,~2,\,-\,1\big)\big\}\\\\\end{array}}}$

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Bons estudos e um forte abraço. — lordCzarnian9635.