Question

Um fabricante de artigos de plásticos possui em estoque máximo de 1.200 caixas transparentes em
sua fábrica1 e um estoque máximo de 1.000 caixas em sua fábrica2. O fabricante recebeu pedidos
mínimos deste produto provenientes de 3 diferentes varejistas nas quantidades de 1.000, 700 e 500
caixas, respectivamente. Os custos unitários de expedição (em centavos por caixa) desde a fábrica até o
varejista são os seguintes:
Varejista 1 Varejista 2 Varejista 3
Fábrica 1 14 13 11
Fábrica 2 13 13 12

Qual o programa de expedição que atende a demanda a partir do estoque disponível a um custo mínimo?

Answer 1

Resposta:

O programa de expedição que atende a demanda com custo mínimo é o representado abaixo:

                       Varejista 1                    Varejista 2                 Varejista 3

Fábrica 1               0                                700                               500

Fábrica 2           1000                              0                                      0

O custo mínimo é 27.600.

Explicação passo a passo:

Abaixo o programa de expedição.

       V1            V2           V3

F1     x1             x2           x3

F2    y1             y2           y3    

As condições para atendimento das demandas e dos estoques máximos por fábrica são:

1000 =  x1 + y1                 (pedido varejista 1)                       (a)

700  =  x2 + y2                (pedido varejista 2)                      (b)

500  =  x3 + y3                (pedido varejista 3)                      (c)

z1 =  x1 + x2 + x3              (total expedido da fábrica 1)

z2 =  y1 + y2 + y3             (total expedido da fábrica 2)

2200 = z1 + z2                 (total expedido das duas fábricas)

O custo total de expedição pode ser escrito como abaixo:

C = 14 * x1  + 13 * x2 + 11 * x3 + 13 * y1 + 13 * y2 + 12 * y3

Agrupando os termos envolvendo x1 e y1, x2 e y2, x3 e y3:

C    = x1 + 13 * x1 + 13 * y1 +  

      13 * x2 + 13 * y2 +

      11 * x3 + 11 * y3 + y3

C = x1 + 13 * (x1+y1) + 13 * (x2+y2) + 11 * (x3+y3) + y3

Substituindo os termos entre parênteses pelas equações a, b e c obtidas  acima:

C  = x1 + 13 * 1000 + 13 * 700 + 11 * 500 + y3

C  = x1 + y3 + 13.000 + 9.100 + 5.500

C  = x1 + y3 + 27600

As condições sobre x1 e y3 são:

0 < = x1 <= 1000, pois podem ser expedidos 0 até 1.000 caixas da fábrica 1 para o varejista 1, já que o estoque máximo da fábrica 1 é 1.200 e o pedido do varejista 1 é 1.000 caixas.

0 <= y3 <= 500, pois podem ser expedidos 0 até 500 caixas da fábrica 2 para o varejista 3, já que o estoque máximo da fábrica 2 é 1.000 e o pedido do varejista 3 é de 500 caixas.

Mas o mínimo de C =  x1 + y3 + 27600 ocorre quando x1=0, y3=0. Escrevendo esses valores no programa de expedição:

       V1            v2           V3

F1      0             ?         500

F2      1000       ?             0

Como a fábrica 2 pode expedir no máximo 1.000 caixas, o valor da coluna do meio na segunda linha tem de ser 0, e o programa fica:

       V1            v2           V3

F1      0             ?         500

F2      1000       0            0

Para atender ao varejista 2, o valor do meio na primeira coluna tem de ser 700, e o programa fica:

       V1            v2           V3

F1      0             700        500

F2      1000       0            0

Calculando o custo neste caso, que será o custo mínimo:

C = 27600 + x1 + y3 = 27.600