Question

OBMEP) O retângulo da figura possui área igual a 640 cm2. Os pontos B e F são pontos médios dos lados AC e AE, respectivamente. Qual é a área do triângulo BDF?
Sugestão: Localize o ponto E na origem de um sistema de coordenadas cartesianas, determine os pontos B, D, F e aplique na fórmula:

Answer 1

Resposta:

Explicação passo a passo:

Vamos chamar a altura e comprimento de $x$ e $y$, respectivamente.

Se a área do retângulo é $640$, então temos : $xy=640$.

Os pontos B e F são pontos médios. Logo, os lados AB e BC medem $\frac{y}{2}$, e os lados AF e FE medem $\frac{x}{2}$.

A área do triângulo é igual à área do retângulo, menos as áreas dos triângulos ABF, EFD e BCD, certo? Ou seja, a área $A_{BDF}$ do triângulo BDF é dada por:

$A_{BDF}=xy - (A_{ABF} + A_{BCD} +A_{FED})$

Logo, temos

$A_{BDF}=xy - \bigg(\dfrac{xy}{8}+\dfrac{xy}{4}+\dfrac{xy}{4}\bigg)\\\\A_{BDF}=xy - \bigg(\dfrac{5xy}{8}\bigg)\\\\A_{BDF}=xy - \dfrac{5xy}{8}\\\\A_{BDF}=\dfrac{3xy}{8}$

Sabemos que $xy=640$. Logo,

$A_{BDF}=\dfrac{3\cdot 640}{8}=3\cdot\dfrac{640}{8}=3\cdot 80$

$A_{BDF}=240$  cm²