Em um progresso aritmético a soma dos dez primeiros termos é 400 e a soma do décimo primeiro ao vigésimo termo é 1000 calcule o trigésimo segundo termo da P A.
Respostas
Resposta:
a32 = 199
Explicação passo a passo:
S10 = 400
S20 = S10 + 1000 = 400 + 1000 = 1400
Sn = ((a1 + an) • n) / 2
S10 = 400
400 = ((a1 + a10) • 10) / 2
400 = (a1 + a10) • 5
400 / 5 = a1 + a10
80 = a1 + a10
S20 = 1400
1400 = ((a1 + a20) • 20) / 2
1400 = (a1 + a20) • 10
1400 / 10 = a1 + a20
140 = a1 + a20
an = a1 + (n–1) • r
a10 = a1 + (10–1) • r
a10 = a1 + 9 • r
80 = a1 + a10
80 = a1 + a1 + 9 • r
80 = 2 • a1 + 9 • r
a20 = a1 + (20–1) • r
a20 = a1 + 19 • r
140 = a1 + a20
140 = a1 + a1 + 19 • r
140 = 2 • a1 + 19 • r
80 = 2 • a1 + 9 • r
9 • r = 80 - 2 • a1
r = (80 - 2 • a1) / 9
140 = 2 • a1 + 19 • r
140 = 2 • a1 + 19 • ((80 - 2 • a1) / 9)
140 = 2 • a1 + (1520 - 38 • a1) / 9
140 = (18 • a1) / 9 + (1520 - 38 • a1) / 9
140 = (18 • a1 + 1520 - 38 • a1) / 9
140 = (18 • a1 - 38 • a1 + 1520) / 9
140 = (-20 • a1 + 1520) / 9
140 • 9 = -20 • a1 + 1520
1260 = -20 • a1 + 1520
20 • a1 = 1520 - 1260
20 • a1 = 260
a1 = 260 / 20
a1 = 13
r = (80 - 2 • a1) / 9
r = (80 - 2 • 13) / 9
r = (80 - 26) / 9
r = 54 / 9
r = 6
an = a1 + (n–1) • r
a32 = 13 + (32–1) • 6
a32 = 13 + 31 • 6
a32 = 13 + 186
a32 = 199
Prova Real:
Sn = ((a1 + an) • n) / 2
S10 = ((13 + a10) • 10) / 2
a10 = a1 + 9 • r
S10 = ((13 + (a1 + 9 • r)) • 10) / 2
400 = ((13 + (13 + 9 • 6)) • 10) / 2
400 = (13 + (13 + 54)) • 5
400 = (13 + 67) • 5
400 = 80 • 5
400 = 400 ← Verdadeiro.
S20 = ((13 + a20) • 20) / 2
1400 = (13 + a20) • 10
a20 = a1 + 19 • r
1400 = (13 + a1 + 19 • r) • 10
1400 = (13 + 13 + 19 • 6) • 10
1400 = (26 + 114) • 10
1400 = 140 • 10
1400 = 1400 ← Verdadeiro.
O trigésimo segundo termo da P.A. é igual a 199.
Essa questão se trata de progressão aritmética. Uma progressão aritmética é caracterizada por uma sequência de valores crescentes ou decrescentes, onde a diferença entre um valor e seu sucessor é sempre constante. O termo geral da P.A. é dado por aₙ = a₁ + (n-1)·r.
A soma dos 10 primeiros termos é 400, logo:
S₁₀ = 400
400 = (a₁ + a₁₀)·10/2
a₁ + a₁₀ = 80
A soma do 11º ao 20° termos é 1000, logo:
S₂₀ - S₁₀ = 1000
(a₁ + a₂₀)·20/2 - 400 = 1000
a₁ + a₂₀ = 140
Sabemos que a₁₀ pode ser escrito como a₁ + 9r e a₂₀ pode ser escrito como a₁ + 19r, logo:
a₁ + a₁ + 9r = 80
a₁ + a₁ + 19r = 140
Temos o seguinte sistema:
2·a₁ + 9·r = 80
2·a₁ + 19·r = 140
Subtraindo as equações:
10·r = 60
r = 6
Podemos encontrar o valor de a₁:
2·a₁ + 9·6 = 80
a₁ = (80 - 54)/2
a₁ = 13
Podemos encontrar o valor de a₃₂:
a₃₂ = 13 + (32 - 1)·6
a₃₂ = 13 + 186
a₃₂ = 199
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