Question

Teoria dos limites e derivadas

Answer 1

A derivada dh/dt vale

                                                       $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\frac{dh}{dt} = gt}\end{gathered} }$

Calcular dh/dt significa calcular a derivada de h em relação a t, quando temos termos constantes multiplicando podemos tirar eles da derivação, isso se dá pela linearidade da derivada, ou seja

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered}\left[a f(x) \pm bg(x)\right]' = af'(x) + bg'(x)\end{gathered}$

Onde a, b são constantes.

A notações aqui pouco importam, algumas facilitam para ver determinada propriedade, outras não.

Dito isso, temos a seguinte expressão

                                                   $\Large\displaystyle\begin{gathered}h = \frac{1}{2}gt^2\end{gathered}$

Que no fundo é uma função de t, logo poderíamos escrever ela como

                                               $\Large\displaystyle\begin{gathered}h(t) = \frac{1}{2}gt^2\end{gathered}$

Queremos achar a derivada de h, que podemos escrever como dh/dt ou h'(t), tanto faz.

A derivada de um monômio é dada pela regra:

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered}f(x) = x^n \Rightarrow f'(x) = nx^{n-1}\end{gathered}$

i.e. desce o expoente multiplicando e subtrai um.

Logo a derivada fica

                            $\Large\displaystyle\begin{gathered}h(t) = \frac{1}{2}gt^2 \Rightarrow h'(t) = \frac{1}{2}2gt^{2-1}\end{gathered}$

Podemos simplificar o 2 e fazer a conta do expoente, resultando que a derivada de h(t) é

                                            $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{h'(t) =\frac{dh}{dt} = gt}\end{gathered} }$

Veja que a expressão

                                                        $\Large\displaystyle\begin{gathered}h = \frac{1}{2}gt^2\end{gathered}$

É muito parecida para altura de um objeto em queda sobre a ação da gravidade, com velocidade inicial e posição inicial nulas. Quando derivamos a posição de um objeto sempre encontramos sua velocidade.

Como esse exemplo é muito simples vou fazer um adicional com a expressão completa da posição num movimento uniformemente acelerado

Dado a expressão da posição com S em metros e t em segundos.

                                         $\Large\displaystyle\begin{gathered}S(t) = S_0 + v_0 t + \frac{at^2}{2}\end{gathered}$

Pela definição de velocidade sabemos que

                                                 $\Large\displaystyle\begin{gathered}v(t) = \frac{d}{dt}S(t)\end{gathered}$

Então vamos derivar para achar a velocidade, usando a derivada de monômio

                                 $\Large\displaystyle\begin{gathered}f(x) = x^n \Rightarrow f'(x) = nx^{n-1}\end{gathered}$

E a derivada de constante

                           $\Large\displaystyle\begin{gathered}f(x) = c \Rightarrow f'(x) = 0,\ \ c = \text{const}\end{gathered}$

Logo queremos derivar

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered}v(t) = \frac{d}{dt}\left[S_0 + v_0t + \frac{at^2}{2}\right]\end{gathered}$

Como dito lá no inicio, a derivada da soma é a soma das derivadas, e constantes que multiplicam podem sair da derivada, logo

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered}v(t) = \frac{d}{dt}\left[S_0\right] + \frac{d}{dt}\left[v_0t\right] + \frac{d}{dt}\left[\frac{at^2}{2}\right]\end{gathered}$

Como S0 é constante sua derivada é nula, v0 e a/2 são constantes que multiplicam t, logo podem sair da derivada

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered}v(t) =0+ v_0 \frac{d}{dt}\left[t\right] + \frac{a}{2}\frac{d}{dt}\left[t^2\right]\\ \\v(t) =v_0 1\cdot t^{1-1}+ \frac{2a}{2}t^{2-1}\\ \\v(t) =v_0 +at \\ \\\end{gathered}$

Aplicando a derivada de monômio chegamos em

                                                 $\Large\displaystyle\begin{gathered}v(t) =v_0 + at\end{gathered}$

Que é a fórmula que conhecemos do ensino médio para velocidades

Espero ter ajudado

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