Question

Mostre que a Série Geométrica
Anexo 1

em que a e r são números reais (constantes), é convergente se | r | < 1 e a sua soma é

Anexo 2

Mostre que se | r | ≥ 1, então, a Série Geométrica é divergente

Answer 1

Sabemos que uma progressão geométrica é dada por

                                                 $\Large\displaystyle\begin{gathered}a_n = a_1r^{n-1}\end{gathered}$

Considere a soma parcial de n termos de um PG

                                     $\Large\displaystyle\begin{gathered}S_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_n\end{gathered}$

Escrevendo de forma explicita temos

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered}S_n = a_1 + a_1r + a_1r^2 +\ldots + a_1r^{n-1}\end{gathered}$

Podemos escrever na forma de somatório

                                              $\Large\displaystyle\begin{gathered}S_n = \sum_{k = 0}^{n-1} a_1r^{k}\end{gathered}$

Agora vamos fazer a seguinte passagem, considere a soma parcial Sn, vamos multiplicar ela por r, obtendo assim

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered}rS_n = a_1r + a_1r^2 + a_1r^3 +\ldots + a_1r^{n}\end{gathered}$

Obtemos então o seguinte sistema

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\begin{cases}rS_n = a_1r + a_1r^2 + a_1r^3 + \ldots + a_1r^{n}\\S_n = a_1 + a_1r + a_1r^2 + \ldots + a_1r^{n-1}\\\end{cases}\end{gathered}$

Para simplificar a visualização da passagem seguinte, irei colocar a1 em evidência, logo

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\begin{cases}rS_n = a_1\left(r + r^2 + r^3 + \ldots + r^{n}\right)\\S_n =a_1\left(1 + r + r^2 + \ldots + r^{n-1}\right)\\\end{cases}\end{gathered}$

Vamos subtrair as duas equação

$\large\displaystyle\begin{gathered}rS_n -S_n = a_1\left(r + r^2 + r^3 + \ldots + r^{n}\right) - a_1\left(1 + r^2 + r^3 + \ldots + r^{n-1}\right)\end{gathered}$

Note que temos múltiplos termos se cancelando, resultando em

                                     $\Large\displaystyle\begin{gathered}S_n\left(r-1\right) = a_1r^n - a_1\end{gathered}$

O que nos leva para a fórmula conhecida de soma parcial de P.G

                                           $\Large\displaystyle\begin{gathered}S_n= \frac{a_1\left(r^n-1\right)}{r-1}\end{gathered}$

Porém o que acontece quando n tende a infinito? vamos considerar suas situações, $|r| \geq 1$ e $|r| < 1$.

Para a primeira situação temos

                                   $\Large\displaystyle\begin{gathered}S_{\infty}=\lim_{n\to \infty} \frac{a_1\left(r^n-1\right)}{r-1}\end{gathered}$

Vamos expandir em duas frações

                           $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}S_{\infty}=\lim_{n\to \infty}\left[ \frac{a_1r^{n}}{r-1} - \frac{a_1}{r-1} \right]\end{gathered} }$

Por aqui já vemos que a série só ira convergir se o termo a esquerda convergir, i.e.

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered}\sum_{n=1}^{\infty}a_n \text{ converge}\Leftrightarrow \lim_{n\to \infty} \frac{a_1r^n}{r-1} = L\end{gathered}$

• $\large\displaystyle\begin{gathered}|r| > 1\end{gathered}$

Lembrando que r = 1 é uma série geométrica degenerada, obviamente ela não converge pois seria a soma infinita de constantes, logo, para |r| > 1 temos que

                          $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\lim_{n\to \infty} \frac{a_1r^n}{r\left(1-\frac{1}{r}\right)} = \lim_{n\to \infty} \frac{a_1r^{n-1}}{1-\frac{1}{r}} = +\infty \end{gathered} }$

Note que quando n vai para infinito, o denominador vai a 1 e o numerador quando r é positivo é infinito, e quando r é negativo o limite não existe (logo não converge).

• $\large\displaystyle\begin{gathered}|r| < 1\end{gathered}$

Agora se temos |r| < 1, significa que podemos escrever r como sendo 1/q, sendo q > 1, logo

                         $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\lim_{n\to \infty} \frac{a_1\left(\frac{1}{q}\right)^n}{\frac{1}{q}-1} =\lim_{n\to \infty} \frac{\frac{a_1}{q^n}}{\frac{1-q}{q}} \\ \\\lim_{n\to \infty}\frac{a_1q}{q^n\left(1-q\right)} = \lim_{n\to \infty}\frac{a_1}{q^{n-1}\left(1-q\right)} \end{gathered} }$

Note que esse limite existe e vai para 0, logo

                                        $\Large\displaystyle\begin{gathered}\lim_{n\to \infty} \frac{a_1r^n}{r-1} = 0, \quad |r| < 1\end{gathered}$

Portanto, quando n vai a infinito temos que

             $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}S_{\infty}=\lim_{n\to \infty}\left[ \underbrace{\frac{a_1r^{n}}{r-1}}_{\to 0} - \frac{a_1}{r-1} \right] = - \frac{a_1}{r-1},\ \ |r|<1\end{gathered} }$

Por fim

                                        $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{S_{\infty}= \frac{a_1}{1-r},\ \ |r|<1}\end{gathered} }$

Se preferir

                                   $\Large\displaystyle\begin{gathered}\sum_{n=1}^{\infty}ar^{n-1} = \frac{a}{1-r}, \quad |r| < 1\end{gathered}$

Espero ter ajudado

Qualquer dúvida respondo nos comentários