Question

Assinale a alternativa correta que corresponde ao valor da área da região delimitada pelas curvas y=x2 e y=2x−x2:

Answer 1

Resposta:

A área entre as curvas y = x² e y = 2x é 4/3.

Temos que a reta y = 2x está acima da curva y = x², logo, os limites para a integral em y são x² e 2x. Note nos gráficos que as curvas se encontram nos pontos (0, 0) e (2, 4), então o limite para a integral em x será de 0 a 2.

Temos que resolver a seguinte integral:

\begin{gathered}A = \int\limits^2_0 \int\limits^{2x}_{x^2} \, dydx \\\end{gathered}

A=

0

∫

2

x

2

∫

2x

dydx

Começando pela integral interna (em dy), temos:

\int\limits^{2x}_{x^2} \, dy = 2x - x^2

x

2

∫

2x

dy=2x−x

2

Terminando pela integral externa (em dx), temos:

A = \int\limits^2_0 2x - x^2 \, dxA=

0

∫

2

2x−x

2

dx

A = x^2 -\dfrac{x^3}{3} \left|^2_0

A = 2^2 -\dfrac{2^3}{3} - 0^2 +\dfrac{0^3}{3}A=2

2

−

3

2

3

−0

2

+

3

0

3

A = 4 -\dfrac{8}{3}A=4−

3

8

A = \dfrac{4}{3}A=

3

4

Answer 2

Resposta: 1/3

Explicação passo a passo:

Para descobrir a área entre duas curvas, precisamos primeiro encontrar os pontos em que as curvas se encontram (para saber onde começa e onde termina a área) e em seguida, integramos.

Para descobrir os pontos de intersecção, igualamos as curvas:

x² = 2x - x²

2x² - 2x = 0

x(x-1) = 0

x = 0 e x = 1

Esses dois pontos serão nossos limites de integração. Vamos integrar as duas curvas e em seguida subtrair a maior do menor para encontrar a área:

$\int\limits^1_0 {x^2} \, dx = \ \frac{x^3}{3}|^1_0 = \ \frac{1}{3}$

$\int\limits^1_0 {2x-x^2} \, dx = \ (x^2 - \frac{x^3}{3} )|^1_0 = \frac{2}{3}$

Logo, o valor da área será:

$\frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$

Bons estudos!