Question

Cálculo
Encontre uma representação em Série de Potências para a função
$f(x)= \frac{2}{1 + x}$ e determine o raio de convergência.

Answer 1

A série de potência que descreve a série converge no intervalo ]-1, 1[ e é

                          $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{f(x) = \sum_{n = 0}^{\infty}(-1)^{n}\,2 x^{n} ,\quad |x| < 1}\end{gathered} }$

Dada a função

                                           $\Large\displaystyle\begin{gathered}f(x) = \frac{2}{1+x}\end{gathered}$

Podemos notar a semelhança com a soma infinita de P.G

                                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} \sum_{n = 0}^{\infty}a_1q^{n} = \frac{a_1}{1-q},\quad |q| < 1 \end{gathered}$

Logo, por analogia podemos ver que a₁ = 2 e a razão é -1 (q = x = -1). Ou seja

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered}f(x) = \frac{2}{1+x} = \sum_{n = 1}^{\infty}2\left(-x\right)^{n},\quad |x| < 1\end{gathered}$

Podemos ajeitar essa série para melhorar a visualização, podemos notar uma alternância de sinais, escrevendo da forma

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered}f(x) = \sum_{n = 0}^{\infty}2\left((-1)\cdot x\right)^{n} = \sum_{n = 0}^{\infty}(-1)^{n}\, 2x^{n} \end{gathered}$

Isso nos monstra que o primeiro termo da série é positivo, o segundo é negativo, o terceiro positivo, o quarto, negativo e assim por diante, logo o sinal é alternado, como se trata de uma soma infinita de P.G o raio de convergência é o mesmo de uma série geométrica, logo

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered}f(x) = \sum_{n = 0}^{\infty}(-1)^{n}\,2 x^{n} ,\quad |x| < 1\end{gathered}$

Podemos verificar o raio de convergência utilizando o teste da razão

                       $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\sum a_n \text{ converge} \Leftrightarrow \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| < 1\end{gathered} }$

Portanto

                              $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\lim_{n \to \infty} \left|\frac{2x^{n+1}}{2x^{n}}\right| < 1\Rightarrow |x| <1 \end{gathered} }$

Outra maneira legal de calcular o raio de convergência de séries de potências é, dada a série

                                             $\Large\displaystyle\begin{gathered}\sum_{n=0}^{\infty} c_n\left(x-x_0\right)^n\end{gathered}$

Seu raio de convergência R é

                               $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\lim_{n \to \infty} \left|\frac{c_{n+1}}{c_n}\right| = L \Rightarrow R = \frac{1}{L}\end{gathered} }$

Veja que se L é infinito, logo a série só converge no ponto x₀, se L tende a 0 temos que o raio de convergência é toda a reta real $\mathbb{R}$, se o limite tende a L então o raio de convergência é um intervalo simétrico entorno de x₀ de tamanho 1/L, ou seja, ela converge para |x - x₀| < 1/L. Porém as análises nos extremos do intervalos devem ser feitas de forma individual.

Espero ter ajudado

Qualquer dúvida respondo nos comentários