Question

$\lim _{x\to \:0}\left(\frac{sin\left(9x²\right)}{x}\right)$como resolver essa equação sem ser pelo metódo L'Hopital

Answer 1

$\displaystyle \sf \lim_{\sf x\to 0 } \left[\frac{sin(9x^2)}{x}\right]$

Sem usar L'hospital a ideia vai ser fazer aparecer um limite fundamental muito usado :

$\displaystyle \sf \lim_{u\to 0}\left[\frac{sen(u)}{u}\right] = 1$

Sendo assim, vamos multiplica o limite por 9x no numerador e no denominador :

$\displaystyle \sf \lim_{\sf x\to 0 } \left[\frac{sin(9x^2)}{x}\right]\to \displaystyle \sf \lim_{\sf x\to 0 } \left[\frac{9x.sin(9x^2)}{9x^2}\right] \\\\\\ separando \ os\ limites : \\\\\\ \lim_{x\to 0}9x.\underbrace{\sf \lim_{x\to 0}\left[\frac{sin(9x^2)}{9x^2}\right] }_{1} \\\\\\ \lim_{x\to 0}9x .1 \to x = 0 \to 9.0 = 0 \\\\ Portanto : \\\\ \boxed{\ \sf \displaystyle \sf \lim_{\sf x\to 0 } \left[\frac{sin(9x^2)}{x}\right] = 0\ }\checkmark$