Question

13. Em cada função a seguir, do tipo y = f(x) = ax² + bx + c, com a ≠ 0, determine os valores dos coeficientes a, b e c, do discriminante, das raízes reais (caso existam), de f(0), de f(3) e de f(-2). Existindo as raízes, escreva a função na forma fatorada.
a) y = x²- x - 6
b)f(x) = x²/5 - 2x + 5
c)y = x²- 4/4
d)f(x) = x² - 2x + 5​

Answer 1

Resposta: Mano, a resposta é muito longa. Tive que encurta alguns passos, mas espero que você consiga entender a resolução de cada uma. Segue a resolução do problema.

Explicação passo a passo: No primeiro item, temos que:   y = x²- x - 6

Comparando com a expressão genérica, temos que os coeficientes são:

ax² + bx + c           Temos que: a= 1 , b = -1 e c = -6

 x²- x - 6

Para encontrar o discriminante: Δ = b² -4.a.c => Δ = (-1)² -4.1.(-6) = 25

Temos que:  Δ > 0. Logo, há duas solução distintas e reais. A raiz é dada por:

x = (-b ±√Δ)/ 2.a = ( -(-1) ±√25 ) / 2.(1) = ( 1 ± 5 ) /2 . x1 = 3 , x2 = - 2

s { 3, -2 } raízes.

Por fim: f(0) = 0² - 0 - 6 => f(0) = -6 , f(3) = (3)² - (3) - 6 = > f(3) = 0 e f(-2) = (-2)² - (-2) - 6 =>  f(-2) = 0

No segundo item, temos que:   f(x) = x²/5 - 2x + 5

Comparando com a expressão genérica, temos que os coeficientes são:

ax² + bx + c           Temos que: a= 1/5 , b = -2 e c = 5

x²/5 - 2x + 5

Para encontrar o discriminante: Δ = b² -4.a.c => Δ = (-2)² -4.(1/5).(5) = 0

Temos que:  Δ =  0. Logo, há uma única solução real. A raiz é dada por:

x = (-b ±√Δ)/ 2.a = ( -(-2) ±√0 ) / 2.(1/5) = ( -(-2) ± 0 ) /2 .(1/5 ) = 5 = >  x1 = x2 = 5

s { 5 } raízes.

Por fim: f(0) =0²/5 - 2.0 + 5 => f(0) = 5 , f(3) = 3²/5 - 2.3 + 5 = 4/5 obs: tira o mmc para fazer essa conta.  

=> f(3) = 4/5 e f(-2) = (-2)²/5 - 2.(-2) + 5 = 49/5 =>  f(-2) = 49/5

No terceiro item, temos que:   f(x) = y = x²- 4/4 = >  f(x)  = x²- 1

Comparando com a expressão genérica, temos que os coeficientes são:

ax² + bx + c           Temos que: a= 1 , b = 0 e c = -1

x²- 1

Para encontrar o discriminante: Δ = b² -4.a.c => Δ = (0)² -4.(1).(-1) = 4

Temos que:  Δ >  0. Logo, há duas solução distintas e reais. A raiz é dada por:

x = (-b ±√Δ)/ 2.a = ( -(0) ±√4 ) / 2.(1) = ( 0 ± 2 ) /2 .(1 ) = 5 = >  x1 = 1 , x2 = -1

s { 1, -1 } raízes.

Por fim: f(0) = 0²- 1=> f(0) = -1 , f(3) = 3²- 1 = 8 => f(3) = 8 e f(-2) = (-2)²- 1  = 3 =>  f(-2) = 3

No terceiro item, temos que:  f(x) = x² - 2x + 5​

Comparando com a expressão genérica, temos que os coeficientes são:

ax² + bx + c           Temos que: a= 1 , b = -2 e c = 5

x² - 2x + 5​

Para encontrar o discriminante: Δ = b² -4.a.c => Δ = (-2)² -4.1.(5) = - 15

Temos que:  Δ <0. Logo, não há solução real . s { } raízes.

Por fim: f(0) = 0² - 2.0 + 5​  => f(0) = 5 , f(3) = (3)² - 2.(3) + 5 = > f(3) = 8 e f(-2) = (-2)² - 2.(-2) +5 =>  f(-2) = 13