Question

Uma pirâmide regular tem por base um hexágono cuja diagonal menor mede 3 (raiz quadrada de) 3 cm. As faces laterais desta pirâmide formam diedros de 60 graus com o plano da base. A área total da pirâmide, em cm2 , é?

Answer 1

Olá, 

Desenhando a diagonal menor no hexágono, você vai notar que ela forma um triângulo com os lados do hexágono, que são iguais, pois o hexágono é regular. Como o hexágono é formado por 6 triângulos equiláteros que possuem 3 ângulos internos de 60° cada, o ângulo formado entre os lados de 2 triângulos distintos é de 120°. Logo, pela Lei dos Cossenos, calculamos o valor do lado do hexágono: 

d² = L² + L² -2L².cos120° 

(3√3)² = 2L² + L² 

27 = 3L² 

L² = 9 

L = 3cm 

Logo, o lado do hexágono é de 3cm, ou seja, os lados dos triângulos equiláteros que formam o hexágono é de 3cm. Agora, temos que calcular o valor do apótema do hexágono (apb), que é a altura do triângulo equilátero, que forma um triângulo retângulo com a apótema da pirâmide (app), é ela que nos interessa. Logo, a altura de um triângulo equilátero é dada por: 

h = apb = L√3/2 

Logo: 

apb = 3√3/2 

Agora, queremos calcular o apótema da pirâmide, sabendo que a apótema da pirâmide forma um ângulo de 60° com a apótema da base, por trigonometria no triângulo retângulo, encontramos o seu valor: 

cos60° = apb / app 

0,5 = (3√3/2)/app 

app = 3√3/2 / 0,5 

app = 3√3/4 cm 

Agora, planificando a figura, temos um hexágono formado por 6 triângulos equiláteros de lado 3cm e seis triângulos de base 3cm e altura = app = 3√3/4cm. Logo: 

At = 6L²√3/4 + 6L.h 

Aplicando: 

At = 6(3)²√3/4 + 6 . 3 . 3√3/4 

At = 13,5√3 + 13,5√3 

At = 27√3 cm²