Question

1)as bases de um tronco de cone circular reto são círculos de raio 6cm e 3cm. Sabendo-se que a área lateral do tronco é igual a soma das áreas das bases, calcule a altura e o volume do tronco.

2)Quantas vezes será necesario usar um reciouente conico para encher de agua uma vasilha cilindrica, sabendo que o cone tem a mesma base e a mesma altura do cilindro? explique sua resposta da melhor forma possivel

Answer 1

Sl= πR² +πr²          ( (2π R +2πr) .h)/2=πR² +πr²

9πh=45π  ( h=5cm)         V=(πh( R² R.r +r²))/3

V=(π.5( 36 +9+18))/3=105π   V=329,70 cm³

Answer 2

1) Por gentileza, acompanhe o desenvolvimento com a figura em anexo:
 Vamos chamar às áreas das bases de A1 e A2.
A área da base 1 é igual a:
A1 = π × r²
e a área da base 2 é igual a:
A2 = π × R²
O raio da base 1 é r = 3 cm
e o raio da base 2 é R = 6 cm.
Substituindo os valores dos raios, obtemos:
A1 = 3,14 × 3²
A1 = 28,26 cm²

A2 = 3,14 × 6²
A2 = 113,04 cm²

Como a área lateral (Al) é igual à soma das bases, ficamos com:
Al = A1 + A2
Al = 28,26 cm² + 113,04 cm²
Al = 141,30 cm²

Esta área lateral planificada (Alp)corresponde à área de um trapézio isósceles, cujas bases são o comprimento da circunferência da base 1 (c1) e o comprimento da base 2 (c2) e cuja altura (g) é a geratriz do tronco do cone:
c1 = 2 × π × r
c2 = 2 × π × R

c1 = 2 × 3,14 × 3 cm
c1 = 18,84 cm

c2 = 2 × 3,14 × 6 cm
c2 = 37,68 cm

Então, a Alp será igual a:
Alp = (c1 + c2) ÷ 2 × g

Como conhecemos Alp que é igual à Al:
Alp = 141,30 cm²
Ficamos com:
141,30 = (18,84 + 37,68) ÷ 2 × g
g = 141,30 ÷ 28,26
g = 5 cm

Como agora conhecemos a medida da geratriz do tronco de cone, podemos obter a sua altura (h), fazendo uma seção longitudinal neste tronco, que contenha o seu eixo. O resultado desta seção é um novo trapézio isósceles, cujas bases são:
d = 2 × r
d = 6 cm
e
D = 2 × R
d = 12 cm
e cujos lados iguais são a geratriz g:
g = 5 cm

A medida correspondente à altura h do tronco do cone é igual ao cateto de um triângulo retângulo, no qual a hipotenusa é a geratriz g e o outro cateto (x) é a metade da diferença dos dois diâmetros das bases:
x = (6 - 3) ÷ 2
x = 1,5 cm
Aplicando-se a este triângulo retângulo o Teorema de Pitágoras, obtemos o valor h:
g² = h² + x²
h² = g² - x²
h² = 5² - 1,5²
h = √22,75
h = 4,77 cm, altura do tronco do cone

Para o cálculo do volume deste tronco, podemos transformá-lo em um cilindro equivalente, de mesma altura h e de raio (rm) correspondente ao raio médio das duas bases do tronco de cone. Assim, a sua área será:
A cone = A base média × h
A base média = π × rm²
A base média = 3,14 × 4,5²
A base média = 63,585 cm²

E o volume (V) será:
V = A base média × h
V = 63,585 cm² × 4,77 cm
V = 303,3 cm³, volume do tronco do cone

2) O volume de um cone (Vcone) é igual a 1/3 do volume de um cilindro (Vcilindro) com mesma base e mesma altura. Então, sempre teremos:
Vcone = 1/3 × Vcilindro