Question

Sabendo que log2 = 0,3 e log 3 = 0,48, resolva: 15^x = 36
Me ajudem pffff

Answer 1

Resolvendo a equação exponencial dada, encontra-se x = 2log₁₅ (6) ≈ 1,323.

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Como de praxe, sabemos que para resolver algumas eqs. exponenciais é necessário que duas potências de mesma base sejam iguais, de modo que possamos encontrar o valor da variável ao igualar os expoentes. Contudo, existe apenas este algoritmo na tentativa de resolver QUALQUER eq. exponencial? Até mesmo para resolver eqs. onde as potências têm bases diferentes? Não e não. Se duas potências de bases distintas são iguais, então para determinar o valor da incógnita poderemos aplicar logaritmo.

A equação em questão é

                                                      $\Large\displaystyle\sf15^x=36.$

Veja que as bases 15 e 36 são diferentes, não sendo possível reescrevê-las em duas potências de mesma base. O máximo que podemos fazer aqui é

                                                      $\Large\displaystyle\sf15^x=6^2.$

Sendo assim, teremos de apelar ao logaritmo. Aplicando-o NA BASE 15 (você já vai entender o por quê) em ambos os membros, teremos

                                         $\Large\displaystyle\sf log_{15}\,(15^x)=log_{15}\,(6^2).$

Uma das propriedades operatórias dos logaritmos nos diz que o logaritmo de uma potência é igual ao logaritmo da base multiplicado ao expoente. Então

                                    $\Large\displaystyle\sf log_{15}\,(15)\cdot x=log_{15}\,(6)\cdot2.$

O logaritmo de um número na base igual a esse número é sempre igual a 1 (sendo esse número maior que zero e distinto de um). Essa é uma consequência da definição, pois se logₓ (x) = 1, então x¹ = x, em que 0 < x ≠ 1. É por isso que lá no início aplicamos o logaritmo na base 15. Assim

                                              $\Large\displaystyle\begin{gathered}\sf 1\cdot x=2log_{15}\,(6)\\\\\sf x=2log_{15}\,(6).\end{gathered}$

Podemos encontrar um valor aproximado para x a partir dos dados fornecidos pelo enunciado. Para isso, começaremos reescrevendo este logaritmo numa razão de logaritmos decimais (base 10) usando a propriedade da mudança de base:

                                           $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\sf x=2\cdot\dfrac{log\,(6)}{log\,(15)}\\\\\sf x=2\cdot\dfrac{log\,(2\cdot3)}{log\,(3\cdot5)}\\\\\sf x=2\cdot\dfrac{log\,(2\cdot3)}{log\,(3\cdot\frac{10}{2})}.\end{gathered} }$

O logaritmo do produto de dois fatores é igual a soma dos logaritmos dos fatores:

                                   $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\sf x=2\cdot\dfrac{log\,(2)+log\,(3)}{log\,(3)+log\,(\frac{10}{2})}.\end{gathered} }$

O logaritmo do quociente de dois fatores é igual a diferença entre os logaritmos dos fatores; após isto, substitua o valor dos logaritmos por aqueles indicados no enunciado da questão:

                           $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\sf x=2\cdot\dfrac{log\,(2)+log\,(3)}{log\,(3)+\underbrace{\sf log\,(10)}_{log_{10}\,(10)\,=\,1}-log\,(2)}\\\\\sf x=2\cdot\dfrac{0,\!3+0,\!48}{0,\!48+1-0,\!3}\\\\\sf x=2\cdot\dfrac{0,\!78}{1,\!18}\\\\\sf x=2\cdot0,\!661\\\\\sf x\approx1,\!323.\end{gathered} }$

Portanto, 15 precisa ser elevado a 1,323 (aproximadamente) para que o resultado seja aproximadamente igual a 36.

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Bons estudos e um forte abraço. — lordCzarnian9635.