Question

Se o polinômio P(x) = x3
- kx2 + 6x - 1 for divisível por (x-1), ele
também será divisível por:
a) x2
- 5x + 1
b) x2
- 5x + 3
c) x2
+ 5x + 1
d) x2
+ 5x + 3
e) x2
- 5x + 5

Answer 1

Esse polinômio também será divisível por:

a) x² - 5x + 1

Explicação:

Como o polinômio x³ - kx² + 6x - 1 é divisível por (x - 1), significa que o resto dessa divisão é zero. Então, R(x) = 0.

Consequência do Teorema de D'Alembert

Sendo um polinômio em x divisível por (x - a), ele se anula para x = a.

Logo, P(x) = 0 para x = 1.

P(x) = x³ - kx² + 6x - 1

0 = 1³ - k·1² + 6·1 - 1

0 = 1 - k + 6 - 1

0 = - k + 6

k = 6

O polinômio P(x) é:

P(x) = x³ - 6x² + 6x - 1

Realizando as divisões:

 x³ - 6x² + 6x - 1 | x² - 5x + 1

- x³ + 5x² - x            x - 1

        - x² + 5x

          x² - 5x + 1

                      (0)

Como teve resto zero, significa que P(x) é divisível por x² - 5x + 1.