Question

Uma haste de cobre tem 17 de comprimento. De quanto o seu comprimento aumenta quando a temperatura aumenta de 20° . Dado o coeficiente de dilatação linear do ferro: = 17.10−6 ° ​

Answer 1

O comprimento da haste de cobre aumenta em 5,78 · 10⁻³ m ou 0,00578 m.

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Cálculo

A dilatação linear (variação de comprimento) é proporcional ao produto do comprimento inicial pelo coeficiente de dilatação linear pela variação de temperatura, tal como a equação I abaixo:

$\quad \LARGE {\boxed{\boxed{\begin{array}{lcr} \\\ {\sf \Delta L = L_0 \cdot \Huge \alpha\cdot \LARGE \sf \Delta T } ~\\\ \end{array}}}} \Large ~ ~ ~ \textsf{(equac{\!\!,}{\~a}o I)}$

$\large \textsf{Onde:}$

$\large \sf \Delta L \Rightarrow variac{\!\!,}\tilde{a}o ~ do ~ comprimento ~(em ~ m)$

$\large \sf L_0 \Rightarrow comprimento ~ inicial ~ (em ~ m)$

$\sf \Large \alpha~\large \sf \Rightarrow coeficiente ~de ~ dilatac{\!\!,}\tilde{a}o ~ linear ~ (em ~ ^\circ C^\textsf{-1})$

$\large \sf \Delta T \Rightarrow variac{\!\!,}\tilde{a}o ~ de ~ temperatura ~ (em ~^\circ C)$

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Segue um exemplo de dilatação, em três dimensões, fora de escala.

$\setlength{\unitlength}{0.7cm}\begin{picture}(6,5)\thicklines\put(0,0){\line(1,0){10}}\put(0,5){\line(1,0){10}}\put(0,0){\line(0,1){5}}\put(10,0){\line(0,1){5}}\put(10,0){\line(3,2){2}}\put(10,5){\line(3,2){2}}\put(0,5){\line(3,2){2}}\put(2.03,6.35){\line(1,0){10}}\put(12,1.35){\line(0,1){5}}\bezier{40}(2,1.35)(8.5,1.4)(12,1.35)\bezier{10}(2,1.35)(1,0,67)(0,0)\bezier{20}(2,1.35)(2,4.35)(2,6.35)\put(10.83,2.7){\LARGE \sf L_0}\put(13,3){\LARGE \sf T_0 = 20 ~^\circ C}\end{picture}$

$\setlength{\unitlength}{0.7cm} \begin{picture}(6,5) \thicklines \put(0,0){\line(1,0){12.5}} \put(0,5){\line(1,0){12.5}} \put(0,0){\line(0,1){5}} \put(12.5,0){\line(0,1){5}} \put(12.5,0){\line(3,2){2}} \put(12.5,5){\line(3,2){2}} \put(0,5){\line(3,2){2}} \put(2.03,6.35){\line(1,0){12.5}} \put(14.5,1.35){\line(0,1){5}} \bezier{40}(2,1.35)(8.5,1.4)(14.2,1.35) \bezier{10}(2,1.35)(1,0,67)(0,0) \bezier{20}(2,1.35)(2,4.35)(2,6.35) \put(13.4,2.7){\LARGE \sf L_F} \put(15.5,3){\LARGE \sf T_F = 40 ~^\circ C} \end{picture}$

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Aplicação

Sabe-se, de acordo com o enunciado:

$\LARGE \sf \displaystyle \rightarrow \begin{cases} \sf \Delta L = \textsf{? m} \\\sf L_0 = \textsf{17 m} \\\sf \huge \alpha = \LARGE \textsf{17} \cdot \textsf{10}^\textsf{-6 } {^\circ C}^\textsf{-1} \\\sf \Delta T = 20 \; ^\circ C \\ \end{cases}$

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Assim, tem-se que:  

$\Large \sf \Delta L = 17 ~ [m] \cdot 17 \cdot 10^\textsf{-6} ~[^\circ {C}^\textsf{-1}] \cdot 20 ~[^\circ {C}]$

$\Large \sf \Delta L = 5780 \cdot 10^\textsf{-6} ~ [m] \cdot [^\circ {C}^\textsf{-1}] \cdot [^\circ {C}]$

$\Large \text{ \sf \Delta L = 5780 \cdot 10^\textsf{-6} ~ [m] \cdot \left[\dfrac{1}{^\circ {C}}\right] \cdot [^\circ {C}] }$

$\Large \text{ \sf \Delta L = 5780 \cdot 10^\textsf{-6} \left[\dfrac{m \cdot ~\!\!^\circ C}{^\circ {C}}\right] }$

$\Large \sf \Delta L = 5780 \cdot 10^\textsf{-6} ~[m]$

$\boxed {\boxed {\Large \sf \Delta L = \textsf{5,78} \cdot 10^\textsf{-3} ~ [m]}} ~ \Large \sf ou ~ \boxed {\boxed {\Large \sf \Delta L = \textsf{0,00578} ~ [m]}}$

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