Question

peço ajuda pessoal, por favor?
$2.3 {}^{x - 1} - 4.3 {}^{x - 2} = 150$
b)
${2}^{2x} + 7. {2}^{x} = 0$

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Answer 1

Resposta: As resoluções de cada questão estão nas imagens abaixo.

Answer 2

Resposta:

$a) ....x =\dfrac{ln(75)}{ln(3)} + 2$    

$\dfrac{ln(75)}{ln(3)} +2= 5,92994704 ....$    ou         $\dfrac{log(75)}{log(3)} +2= 5,92994704 ....$      

( ver gráfico em anexo 2 )

b) S = { ∅ } , logo impossível.

Explicação passo a passo:

Observação 1 → Multiplicação de potências com a mesma base

Mantém-se a base e somam-se os expoentes.

Exemplo

$3^{x} *3^{-1} =3^{x-1}$

Mas é importante que tenha presente que

$3^{x-1}=3^{x} *3^{-1}$

Observação 1 → Divisão de potências com a mesma base

Mantém-se a base e subtraem-se os expoentes, pela ordem em que

aparecem.

Exemplo

$\dfrac{3^{x-1} }{3^{x-2} } =3^{(x-1)-(x-2)} = 3^{(x-1 -x+2)} =3^{-1+2} =3^1=3$

Observação 2 → Transformar qualquer número inteiro em fracionário

Para o fazer constrói-se uma fração de denominador 1.

Exemplo

$7 = \dfrac{7}{1}$

Observação 3 → Mudança de sinal no expoente de um potência

Primeiro inverte-se o valor na base da potência, depois muda-se o sinal ao

expoente.

Exemplo

$3^{-1} =(\frac{3}{1}) ^{-1} =(\dfrac{1}{3})^1=\dfrac{1}{3}$

Observação 4 → Potência de uma fração

É a fração em que, quer o numerador quer o denominador são elevados a essa potência

Exemplo

$(\dfrac{2}{3} )^4=(\dfrac{2^1}{3^1})^4 =\dfrac{2^{1*4} }{3^{1*4} } =\dfrac{2^4}{3^4} =\dfrac{16}{81}$

Observação 5  → Potência de potência

Mantém-se a base, multiplicam-se os expoentes

Exemplo

$(5^{2}) ^{4} =5^{2*4} =5^8$  

Mas é importante que tenha presente que :

$5^{2*4} =(5^{2}) ^{4}$  

Observação 6  → Sinal "menos" antes de parêntesis

Quando assim acontece, os valores dentro do parêntesis, quando saem, mudo seu sinal.

Exemplo

- ( x - 2 ) = - x + 2

a)   Resolução

$2*3^{x-1} -4*3^{x-2} =150$

Repare que

$3^{x-2} < 3^{x-1}$

Vamos dar um valor ao acaso para o x

Se x = 7

$3^{7-2} < 3^{7-1}$

$3^{5} < 3^{6}$

O que prova que

$3^{x-2} < 3^{x-1}$

Por isso podemos colocar em evidência, no 1º membro

$3^{x-2}$

$\dfrac{2*3^{x-1} }{3^{x-2} } -\dfrac{4*3^{x-2} }{3^{x-2} } =150$

$3^{x-2} *(2*\dfrac{3^{x-1} }{3^{x-2} } -\dfrac{4*3^{x-2} }{3^{x-2} }) =150$    

Cálculos auxiliares

Na primeira fração temos uma divisão de potências da mesma base

$\dfrac{3^{x-1} }{3^{x-2} } =3^{(x-1)-(x-2)} = 3^{(x-1 -x+2)} =3^{-1+2} =3^1=3$      

Na segunda fração temos no numerador e no denominador o mesmo valor

$3^{x-2}$.

O que faz com que se cancelem  

Fim de cálculos auxiliares

$3^{x-2} *(2*3-4 }) =150$  

$3^{x-2} *(6-4 }) =150$  

$3^{x-2} *2=150$

dividindo tudo por 2

$3^{x-2} *2:2=150:2$

$3^{x-2}=75$

Observação 7 → Equações exponenciais sem potências de bases iguais

Quando é esse o caso, podemos aplicar logaritmos em ambos os membros.

Pode ser logaritmos neperianos ( ln )

Exemplo

$ln(3^{x-2})=ln(75)$

Observação 8 → Existe uma propriedade que diz :

$ln(5^7)=7*ln(5)$

Conclusão da resolução

$3^{x-2}=75$

$ln(3^{x-2})=ln(75)$

$(x-2)ln(3^})=ln(75)$

Dividir ambos os membros por $ln(3)$

$\dfrac{(x-2)*ln(3)}{ln(3)} =\dfrac{ln(75)}{ln(3)}$

$x-2 =\dfrac{ln(75)}{ln(3)}$

Resolver em ordem a x

$x =\dfrac{ln(75)}{ln(3)} + 2$

Observação 7 → Logaritmos neperianos e logaritmos de base 10

Quando aplicou - se " ln" ( logaritmos neperianos) podíamos também aplicar

logaritmos de base 10.

Que habitualmente escrevemos apenas " log (x)" .

"log" é equivalente a dizer   $log_{10} (x)$    logaritmos de base 10

$\dfrac{ln(75)}{ln(3)} +2= 5,92994704 ....$

$\dfrac{log(75)}{log(3)} +2= 5,92994704 ....$

Como verifica os valores são idênticos.

b) Resolução

$2^{2x} +7*2^x=0$

Aplicando a potência de potência

Mas da maneira que nos convém. Que é ficar uma potência de expoente 2

$(2^{x} )^{2} +7*2^x=0$

Para facilitar cálculo faz-se uma substituição de variável  $2^{x} =t$

$t^{2} +7t=0$

Que é uma equação incompleta do 2º grau

e

uma Equação Produto

Colocar o " t " em evidência

t * t + 7 * t = 0

t * ( t + 7 ) = 0

t = 0     ∨   t + 7 = 0

t = 0     ∨   t = - 7

Porque fizemos mudança de variável , temos que regressar à variável

original, para verificar se as soluções encontradas servem.

Verificar t = 0

$2^{x} =0$    Não há nenhum valor de x que satisfaça esta equação

Logo a solução t = 0  não serve

Verificar t = - 7

$2^{x} =-7$  

Não há nenhum valor de x que seja solução,

As funções exponenciais  só tem valores positivos  em y.

O seu Contra Domínio = ( 0 ; + ∞ )

Logo nunca têm soluções  nulas ou negativas.

( ver gráfico em anexo 1 )

Bons estudos.

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( * ) multiplicação    ( ∞ ) infinito       ( ∨ ) ou        ( ∅ )  conjunto vazio  

Nota → Em minhas resoluções de tarefas eu coloco muita informação, em

termos de regras.

E, detalhando os passos que são dados, de modo a que o usuário possa

perceber o que está a ser feito e utilizá-lo em futuros exercícios.