Question

9. Sejam x1, x2, ..., xn os n valores assumidos por uma variável quantitativa. O que acontece com a média (x) e com a variância (σ2) desses valores quando cada xi (para i = 1,2, ...,n) é:
a) aumentado de duas unidades?
b) multiplicado por 2?​

Answer 1

Resposta:

a) Aumentando-se duas unidades em cada valor da amostra, a média aumenta de duas unidades e a variância não se altera.

b) Multiplicando-se por dois cada um dos valores da amostra a média fica multiplicado por duas e a variância fica multiplicada por quatro.

Explicação passo a passo:

Para responder a esta questão vamos usar os conceitos de média aritmética e de variância.

Média: $\bar{x}=\dfrac{x_1+x_2+x_3+\ldots+x_n}{n}$

Variância: $\sigma^2=\dfrac{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+(x_3-\bar{x})^2+\ldots+(x_n-\bar{x})^2}{n}$

a) aumentado de duas unidades?

Considere $\bar{x}$ a média original dos dados fornecidos, assim teremos:

Média

$\bar{x}=\dfrac{x_1+x_2+x_3+\ldots+x_n}{n}$

Média com aumento de duas unidades em cada um dos valores da amostra.

$\bar{x_k}=\dfrac{x_1+2+x_2+2+x_3+2+\ldots+x_n+2}{n}\\\\\bar{x_k}=\dfrac{(x_1+x_2+x_3+\ldots+x_n)+(2+2+2+\ldots+2)}{n}\\\\\bar{x_k}=\dfrac{x_1+x_2+x_3+\ldots+x_n}{n}+\dfrac{2n}{n}\\\\\bar{x_k}=\bar{x}+2$

Quanto a variância temos:

$\sigma^2=\dfrac{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+(x_3-\bar{x})^2+\ldots+(x_n-\bar{x})^2}{n}$

Assim podemos facilmente observar que dentro de cada parênteses iremos somar duas unidades em cada $x_i$ e também subtrair duas unidades por causa da média, dessa forma mantendo a variância inalterada.

b) multiplicado por 2?​

Considere $\bar{x}$ a média original dos dados fornecidos, assim teremos:

Média

$\bar{x}=\dfrac{x_1+x_2+x_3+\ldots+x_n}{n}$

Média com a multiplicação de duas unidades em cada um dos valores da amostra.

$\bar{x_k}=\dfrac{x_1\cdot2+x_2\cdot2+x_3\cdot2+\ldots+x_n\cdot2}{n}\\\\\bar{x_k}=\dfrac{(x_1+x_2+x_3+\ldots+x_n)\cdot2}{n}\\\\\bar{x_k}=\dfrac{x_1+x_2+x_3+\ldots+x_n}{n}\cdot2\\\\\bar{x_k}=\bar{x}\cdot2$

Quanto a variância temos:

$\sigma^2=\dfrac{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+(x_3-\bar{x})^2+\ldots+(x_n-\bar{x})^2}{n}$

Assim podemos facilmente observar que dentro de cada parênteses quando multiplicamos cada $x_i$ por dois, também multiplicamos a média por dois. Mas como este fator está elevado ao quadrado, a variância ficará multiplicada por 2² = 4.