Question

A temperatura do ar em cada ponto (x, y,z) de uma sala e dada por T(x)=x²+y²-z² graus Celsius e a distância é dada em metros. Um mosquito está no ponto Q(3,1,2). Se o mosquito voar na direção do vetor v=(1,1,1) o mosquito aquecerá ou esfriará? Com qual taxa de variação de temperatura?

Answer 1

A temperatura inicial do mosquito é obtida atribuindo os valores do ponto a x, y e z:

$x = 3,\ y = 1,\ z = 2\\\\T_0 = (3)^2 + (1)^2 - (2)^2\\\\T_0 = 9 + 1 - 4\\\\T_0 = 6$

A utilidade do vetor está em nos indicar a direção e o sentido em que o mosquito se moverá. O vetor v=(1, 1, 1) está nos dizendo que a posição final do mosquito é x + 1, y + 1 e z + 1. Com base nisso, teremos a temperatura final do mosquito:

$x = 4,\ y = 2,\ z = 3\\\\T_1 = (4)^2 + (2)^2 - (3)^2\\\\T_1 = 16 + 4 - 9\\\\T_1 = 11$

A temperatura irá de 6 ºC a 11 ºC. Logo, o mosquito aquecerá com uma taxa de variação de temperatura de 5 ºC.

Answer 2

Resposta: 4*(raiz de 3)/3

Explicação passo a passo: O primeiro passo é normalizar: a=raiz de 3

Forme o vetor unitário: u= i/ raiz de 3 + j/ raiz de 3 + k/ raiz de 3

Faça as derivadas parciais da função:

fx=2x

fy=2y

fz=-2z

Aplicando os pontos:

fx= 6

fy=2

fz=-4

Agora basta colocar na fórmula: Du f(x,y,z)= 4*(raiz de 3)/3