Question

Um poliedro convexo de 9 vértices é formado apenas por faces triangulares e quadrangulares. O número de faces triangulares e o número de faces quadrangulares são números inteiros consecutivos. Determine o número de faces e de arestas.​

Answer 1

Neste exercício, vamos utilizar a relação de Euler, uma equação envolvendo os números de vértices, faces e arestas em um polígono convexo.

$\boxed{\sf V~+~F~=~A~+~2}$

Para nos auxiliar, vamos chamar a quantidade de faces triangulares de "t" e de "q" as quadrangulares, assim podemos dizer que o número de faces nesse poliedro é determinado pela expressão abaixo.

$\boxed{\sf F~=~t~+~q}$

Cada face triangular é formada por 3 arestas e cada quadrangular, por 4 arestas. Vamos lembrar também que cada aresta é compartilhada por duas faces do poliedro, portanto o número de arestas poderá ser calculado pela expressão abaixo.

$\sf \boxed{\sf A~=~\dfrac{3 t~+~4q}{2}}$

Substituindo as duas expressões mostradas na relação de Euler, temos:

$\sf V~+~F~=~A~+~2\\\\\\9~+~(t+q)~=~\dfrac{3t~+~4q}{2}~+~2\\\\\\9~-~2~+~t~+~q~=~\dfrac{3t~+~4q}{2}\\\\\\2\cdot (7~+~t~+~q)~=~3t~+~4q\\\\\\14~+~2t~+~2q~=~3t~+~4q\\\\\\\boxed{\sf t~+~2q~=~14}$

O enunciado ainda nos diz que as quantidades "t" e "q" são números inteiros consecutivos, isto é: ou "t" é 1 unidade maior que "q", ou "q" é 1 unidade maior que "t".

Matematicamente, podemos expressar esses dois casos por:

$\sf\\\rightarrow~~~t~=~q+1\\\\\sf \rightarrow~~~q~=~t+1$

Vamos testar estes dois casos, substituindo na equação achada anteriormente (t+2q=14), e analisar os resultados obtidos:

$\sf \underline{Para~~t=q+1}:\\\\\\(q+1)~+~2q~=~14\\\\q+1+2q~=~14\\\\3q~=~14-1\\\\\boxed{\sf q~=~\dfrac{13}{2}}~~~~\times$

Perceba que, para t=q+1, teríamos uma quantidade fracionária (13/2) para a quantidade de faces quadrangulares, ou seja, um absurdo. Podemos então já excluir essa possibilidade.

$\sf \underline{Para~~q=t+1}:\\\\\\t~+~2\cdot (t+1)~=~14\\\\t+2t+2~=~14\\\\3t~=~14-2\\\\t~=~\dfrac{12}{3}\\\\\boxed{\sf t~=~4}~~~~\checkmark\\\\\\q~=~t+1\\\\q~=~4+1\\\\\boxed{\sf q~=~5}~~~~\checkmark$

Agora sim, temos as quantidades de faces triangulares e quadrangulares do poliedro convexo mencionado no texto. Para responder ao que nos foi solicitado, basta substituirmos "t" e "q" nas expressões do número de faces e de arestas, já montadas anteriormente.

$\sf F~=~t~+~q\\\\F~=~4~+~5\\\\\boxed{\sf F~=~9}\\\\\\A~=~\dfrac{3\cdot t~+~4\cdot q}{2}\\\\A~=~\dfrac{3\cdot 4~+~4\cdot 5}{2}\\\\A~=~\dfrac{12~+~20}{2}\\\\A~=~\dfrac{32}{2}\\\\\boxed{\sf A~=~16}$

Resposta: O poliedro possui 9 faces e 16 arestas.

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$