Question

Considere a função f dada abaixo. Indique quais são os valores de a e b que tornam a função f contínua

Answer 1

Resposta:

A função f será contínua para a = b = 1/2.

Explicação passo a passo:

Para responder a esta questão vamos aplicar conceitos de cálculo como limites e continuidade de funções.

Para uma função ser contínua três condições devem ser satisfeitas:

I - O limite da função nos pontos "candidatos" a descontinuidade deve existir;

$\lim_{x \to a} f(x) = L$

II - A função deve ser definida nesse ponto;

$f(a)$ é definido

III - O limite de f deve ser igual ao valor numérico da função no ponto.

$f(a)=L$

Assim de acordo com a função dada temos:

Os pontos candidatos a descontinuidade são x = 2 e x = 3.

Analisando x = 2 obtemos:

$\lim_{x \to 2^-} \dfrac{x^2-4}{x-2}= \lim_{x \to 2^-} \dfrac{(x+2)(x-2)}{x-2} =\lim_{x \to 2^-} x+2=4$

$\lim_{x \to 2^+} ax^2-bx+3=4a-2b+3$

Para existir o limite, seus limites laterais devem ser iguais.

$4a-2b+3=4\\\\4a-2b=1 \ \ (I)$

Por outro lado, analisando x = 3 temos:

$\lim_{x \to 3^-} ax^2-bx+3 = 9a-3b+3$

$\lim_{x \to 3^+} 2x-a+b=6-a+b$

Novamente igualamos os limites laterais.

$9a-3b+3=6-a+b\\\\10a-4b=3 \ \ (II)$

Resolvendo o sistema formado por (I) e (II) usando o método da adição podemos (II) menos o dobro de (I).

$2a=1\\\\a=\dfrac{1}{2} \ e \ b=\dfrac{1}{2}$

Para estes valores de "a" e "b" a função f(x) é contínua, pois todas as condições foram satisfeitas.