Question

Jonatas é um jovem muito interessado pela matemática e, sobretudo pelo estudo da álgebra. Certa vez, em um dos exemplares da revista Eureka, leu o seguinte desafio:Se X=77. 777, calcule o valor da seguinte expressão:(1/X+1 + 1/X-1) * (X-1/X).

Answer 1

O valor da expressão é 2.

Explicação:

A expressão algébrica fornecida é:

$(\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 1}) * (x - \frac{1}{x})$

Primeiro, vamos somar as parcelas presentes no primeiro fator.

O mmc (mínimo múltiplo comum) de (x + 1) e (x - 1) é (x + 1)·(x - 1).

Esse mmc será dividido por cada denominador e o resultado multiplicado por cada numerador. O resultado será:

$(\frac{1}{x+1} + \frac{1}{x-1}) = \frac{(x-1) + (x+1)}{(x+1)*(x-1)} = \frac{x+x+1-1}{(x+1)*(x-1)} = \frac{2x}{(x+1)*(x-1)}$

No segundo fator, o resultado será:

$(x - \frac{1}{x}) = \frac{x*x - 1}{x} = \frac{x^{2} - 1}{x}$

No numerador, há uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada assim:

x² - 1 = (x + 1)·(x - 1)

Portanto, a nossa expressão fica assim:

$(\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 1}) * (x - \frac{1}{x}) =\\\\\frac{2x}{(x+1)*(x-1)}*\frac{(x+1)*(x-1)}{x}$

Eliminando os fatores comuns, ou seja, "cortando" (x + 1)*(x - 1), sobra:

2x = 2

x

Por isso, o valor dessa expressão é 2.

Como você pode perceber, nem foi preciso usar o valor de x = 77.777.