Question

Determinar a equação da elipse cujos focos são F1(0; -6) e F2(0; 6) sabendo que o eixo maior mede 20.​

Answer 1

Equação da elipse :

$\displaystyle \sf \frac{(x-x_o)^2}{a^2}+\frac{(y-y_o)^2}{b^2 }=1$

Pelas coordenadas dos focos  F1(0; -6) e F2(0; 6), vemos que o eixo maior está na vertical. Então a equação da elipse será do tipo :

$\displaystyle \sf \frac{(x-x_o)^2}{b^2}+\frac{(y-y_o)^2}{a^2 }=1$

Eixo maior= 2a = 20

a = 10

Distância focal :

$\sf 2c = \sqrt{(0-0)^2+(6-(-6))^2} \\\\ 2c = \sqrt{12^2 } \\\\ 2c = 12 \\\\ c = 6$

Com a relação fundamental vamos achar o semi-eixo menor, ou seja :

$\sf a^2=b^2+c^2 \\\\ 10^2= b^2+6^2 \\\\ b^2 = 100 - 36 \\\\ b^2 = 64 \\\\ b = 8$

As coordenadas do centro - Usando as equações dos focos sabemos que :

$\sf F_1 = (x_o\ ,\ y_o+c) \\\\ F_2 =(x_o\ ,\ y_o-c) \\\\ Da{\'i}} : \\\\ F_1 = (0, 6 ) \\\\ y_o+c = 6 \to y_o+6 = 6 \to \boxed{\sf y_o= 0 }$

Portanto a equação da elipse será :

$\displaystyle \sf \frac{(x-0)^2}{8^2}+\frac{(y-0)^2}{10^2}=1 \\\\\\ \huge\boxed{\sf \frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{100}=1 }\checkmark$