Question

lim quando x tende a 0
___ ____
V x + 1 - V x - 1
————————
3x

Answer 1

• Calculando o limite, temos

              $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{1-x} }{3x}=\frac{1}{3} \end{gathered} }$

Desejamos calcular o seguinte limite

          $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{1-x} }{3x}\end{gathered} }$

Sabendo que ao substituir o valor no qual x tende sua função fica indeterminada, devemos manipular a função de forma que ao substituir o x tende não dê um valor indeterminado.

Primeiramente irei aplicar a seguinte propriedade

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} \lim_{x\to \alpha } (k)=k\ ,\ k\in \mathbb{R} \end{gathered}$

Essa propriedade diz que o limite de uma constante é igual a própria constante. Aplicando isso na sua questão, temos que

  $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{1-x} }{3x}\Rightarrow \frac{1}{3}\cdot \lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{1-x} }{x} \end{gathered} }$

Feito isso, vamos agora retirar aquela raiz do numerador, para isso devemos multiplicar toda aquela função por seu conjugado.

Fazemos isso para cair com a seguinte propriedade ( $\large\displaystyle\begin{gathered} \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} =a\end{gathered}$ ). Sabendo disso, logo

   $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \frac{1}{3} \cdot \left( \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{1-x} }{x}\cdot \frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x} }{\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}}\right) \end{gathered} }$

 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \frac{1}{3} \cdot \left( \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{x+1}-\sqrt{1-x})( \sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}) }{x(\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}) }\right)\end{gathered} }$

Olha que top, temos aquela mesma propriedade que eu disse na resposta anterior ( a - b )( a + b ) = a²-b².

   $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \frac{1}{3} \cdot \left( \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{x+1})^2-(\sqrt{1-x})^2 }{x(\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}) }\right)\end{gathered} }$

  $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \frac{1}{3} \cdot \left( \lim_{x \to 0} \frac{(x+1)-(1-x) }{x(\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}) }\right)\end{gathered} }$

  $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \frac{1}{3} \cdot \left( \lim_{x \to 0} \frac{x+\!\diagup\!\!\!\!1-\!\diagup\!\!\!\!1+x }{x(\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}) }\right)\end{gathered} }$

 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \frac{1}{3} \cdot \left( \lim_{x \to 0} \frac{2\!\diagup\!\!\!\!x }{\!\diagup\!\!\!\!x(\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}) }\right)\end{gathered} }$

 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \frac{1}{3} \cdot \left( \lim_{x \to 0} \frac{2 }{\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x} }\right)\end{gathered} }$

Pronto, retiramos a indeterminação, agora é só substituir o valor no qual x tende, ficando por fim

 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{1-x} }{3x}= \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{2 }{\sqrt{0+1}+\sqrt{1-0} }\right)\end{gathered} }$

 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{1-x} }{3x}=\frac{1}{3} \cdot \left( \frac{2 }{\sqrt{1}+\sqrt{1} }\right)\end{gathered} }$

 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{1-x} }{3x}=\frac{1}{3} \cdot \left( \frac{2 }{1+1 }\right)\end{gathered} }$

 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{1-x} }{3x}=\frac{1}{3} \cdot \left( \frac{2 }{2 }\right)\end{gathered} }$

 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{1-x} }{3x}= \frac{1}{3} \cdot \left( 1\right)\end{gathered} }$

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{1-x} }{3x}=\ \therefore \ \boxed{\frac{1}{3} }\end{gathered} }$

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