Question

Determine o valorcoeficiente de k para que a equacao kx2-kx-k-1=0 admita duas raizes reais e iguais

Answer 1

Resposta:

$k=-\frac{4}{5}.$

Explicação passo a passo:

Veja que a equação

$kx^2 - kx -k-1 = 0$

é da forma

$ax^2+bx=c=0,$

onde

$a = k, b=-k \ \ \text{e} \ \ c = -k-1.$

A solução geral para esta equação é

$x_1 = \frac{-b+ \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \ \ \text{e} \ \ x_2 = \frac{-b- \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$

Logo, a equação original na variável $x$ possui duas raízes reais e iguais se, e somente se,

$b^2-4ac = 0.$

Substituindo os valores de $a,b,c$ em termos de $k$ na equação acima obtemos

$(-k)^2-4(k)(-k-1) = 0.$

Simplificando, temos

$5k^2 +4k = 0 \implies k\left( k +\frac{4}{5} )\right = 0.$

As soluções da última equação na variável $k$ são

$k=0 \ \ \text{e} \ \ k = -\frac{4}{5}.$

Note que a solução

$k=0$

não é admissível, caso contrário, a equação original

$kx^2-kx-k-1=0$

seria trivial (ou seja, seria $0=0$).

Logo, $k=-\frac{4}{5}.$