Question

As populações de duas cidades A e B, são dadas em milhares de habitantes pelas funções A(t) = log2 (1+t)2 e B = log2 (4t+4), em que variável t representa o tempo em anos. O instante t em que a população da cidade A se iguala a da cidade B é:

Answer 1

Vamos igualar as funções A(t) e B(t), que nos dão as populações das duas cidades, para podermos determinar o instante em que estas populações se igualam:

$\sf \log_2(1+t)^2~=~\log_2(4t+4)$

Note que temos uma igualdade de logaritmos de mesma base.

Para que dois logaritmos de mesma base sejam iguais, os logaritmandos devem ser iguais também, portanto:

$\sf \log_2(1+t)^2~=~\log_2(4t+4)~~\Longrightarrow~~\boxed{\sf (1+t)^2~=~4t+4}$

Desenvolvendo a equação encontrada a partir da equação logarítmica, temos:

$\sf (1+t)^2~=~4t~+~4\\\\\\(1+t)\cdot (1+t)~=~4t~+~4\\\\\\1\cdot 1~+~1\cdot t~+~t\cdot 1~+~t\cdot t~=~4t~+~4\\\\\\1~+~t~+~t~+~t^2~=~4t~+~4\\\\\\1~+~2t~+~t^2~=~4t~+~4\\\\\\t^2~+~2t~-~4t~+~1~-~4~=~0\\\\\\t^2~-~2t~-~3~=~0~~~\Longrightarrow~Aplicando~Bhaskara\\\\\\\Delta~=~(-2)^2~-~4\cdot 1\cdot (-3)\\\\\Delta~=~4~+~12\\\\\boxed{\sf \Delta~=~16}$

$\sf t~=~\dfrac{2~\pm~\sqrt{16}}{2\cdot 1}~=~\dfrac{2~\pm~4}{2}~~\Rightarrow~\begin{array}{ccc}\sf t'&\sf =&\sf \dfrac{2+4}{2}~=~\dfrac{6}{2}~=~\boxed{\sf ~3~}\\\\\sf t''&\sf =&\sf \dfrac{2-4}{2}~=~\dfrac{-2}{2}~=~\boxed{\sf \,-1~}\end{array}$

Chegamos em duas possibilidades de resultado, no entanto há dois motivos que nos motivam a descartar t"=-1, além de não atender aos critérios de existência nos dois logaritmos, esta variável representa um instante de tempo, logo podemos assumir que a contagem tenha início em t=0.

Com isso, concluímos que as populações das duas cidades serão iguais em t=3 anos.

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$