Question

4) Qual a POSIÇÃO RELATIVA entre a circunferência x² + y² – 2x = 0 e a reta r: 2x – y + 1 = 0?

Answer 1

Para saber a posição relativa entre a circunferência e a reta, basta fazer a distância entre o centro da circunferência à reta e daí analisar os seguintes casos :

$\sf \text{D = R}\to \text{Reta tangente {\`a} circunfer{\^e}ncia } \\\\ D < R \to \text{Reta secante {\`a} circunfer{\^e}ncia } \\\\ D > R \to \text{Reta externa {\`a} circunfer{\^e}ncia }$

A distância de um ponto $\sf (x_o,y_o)$ à uma reta do tipo :

$\sf ax+by+c=0$

é dado por :

$\displaystyle \sf D = \frac{|a.x_o+b.y_o+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Sabendo disso, vamos para a questão.

circunferência :

$\sf x^2+y^2-2x=0 \\\\ x^2 -2x + 1 + y^2 = 1 \\\\ (x-1)^2+(y-0)^2=1 \\\\ Centro : (1\ , 0 ) \ ;\ \ R = 1$

Reta :

$\sf 2x-y+1 = 0$

Distância do centro da circunferência à reta :

$\displaystyle \sf D = \frac{|2.1+(-1).0+1|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}} \\\\\\ D = \frac{2+1}{\sqrt{4+1}} \\\\\\ D = \frac{3}{\sqrt{5}} \\\\\\ D = \frac{3\sqrt{5}}{5} \\\\\\ Vemos \que\ D > R. \ Portanto :$

A reta r é externa à circunferência