Question

Encontre f'(t). Obs: x é uma constante.$f(t) = \sqrt[3]{t^3 + \sqrt{x^2t^2 + \sqrt{x} } }$

Se possível, mostrar o passo a passo...

Answer 1

$f(t) = \sqrt[3]{t^3+ \sqrt{x^2t^2+ \sqrt{x} } }$

Primeiramente, devemos arrumar a função. Colocar em formato de potencia.


$\\ f(t) =( {t^3+ \sqrt{x^2t^2+ \sqrt{x} } } )^1^/^3$

Agora iremos aplicar a regra da cadeia ok!


$f(t)' = [{F(g(x))^n]'*g(x)'$

Devemos derivar em relaão a fora e multiplicar pela derivada da função interna.

$\\ f(t)' = \frac{1}{3} *(t^3+ \sqrt{x^2t^2+ \sqrt{x} } )^1^/^3^-^1*(t^3+ \sqrt{x^2t^2+ \sqrt{x} } )' \\ \\ f(t)' = \frac{1}{3} *(t^3+ \sqrt{x^2t^2+ \sqrt{x} } )^-^2^/^3*[(t^3+(x^2t^2+ \sqrt{x} )^1^/^2]' \\ \\ f(t)' = \frac{1}{3} *(t^3+ \sqrt{x^2t^2+ \sqrt{x} } )^-^2^/^3*[3t^2+ \frac{1}{2} *(x^2t^2+ \sqrt{x} )^1^/^2^-^1*(2x^2t) \\ \\ f(t)' = \frac{1}{3} *(t^3+ \sqrt{x^2t^2+ \sqrt{x} } )^-^2^/^3*[3t^2+x^2t*(x^2t^2+ \sqrt{x} )^-^1^/^2$]

$\\ f(t)' = \frac{1}{3} *(t^3+ \sqrt{x^2t^2+ \sqrt{x} } )^-^2^/^3*[3t^2+x^2t*(x^2t^2+ \sqrt{x} )^-^1^/^2 \\ \\ f(t)' = \frac{1}{3} * \frac{1}{(t^3+ \sqrt{x^2t^2+ \sqrt{x} })^2^/^3 } *\frac{3t^2+x^2t^2}{(x^2t^2+ \sqrt{x} )^1^/^2} \\ \\ f(t)' = \frac{3t^2+x^2t^2}{3(t^3+ \sqrt{x^2t^2+ \sqrt{x} })^2^/^3*(x^2t^2+ \sqrt{x} )^1^/^2 }$



obs: Na derivada g(x)' apliquei a regra da cadeia novamente: