Question

Considere n o último algarismo de seu RA antes do dígito verificador, por exemplo, se seu RA for 2105748-5 então n = 8 e que o professor Fernando está guardando dinheiro com um propósito. Inicialmente ele tem R$ 60.000,00 depositado em sua conta corrente no banco Alegria, e mensalmente, irá depositar nessa conta uma quantia, em reais, que segue a função f(x) = 2000 + 400x, onde x indica, de forma ordenada, os elementos da sequência mensal que irá fazer os depósitos, por exemplo, no primeiro mês tem-se x = 1, no segundo mês x = 2 e assim por diante até atingir a meta de R$ 80.400,00.

a) Em quanto tempo, em meses, ele atingirá a meta?
b) Seguindo a função em quanto tempo no mínimo, em meses, ele terá a quantia de R$ 70.200,00 + n mil reais? (considere apenas valores inteiros para a quantidade de meses e que ele fará um depósito único por mês).
c) Seja a função g(x) = x/1000. Use algum recurso, por exemplo, o GeoGebra (gratuito) para construir o gráfico da função g(f(x)).
d) Depois de atingir a meta, está pensando em aplicar o dinheiro em um fundo de investimento no qual ele pode retira o dinheiro no mês x de aplicação onde o rendimento na retirada será dado por R(x) = –2x3 + 6x + 2, em porcentagem. Determine em qual mês ele deve retirar o dinheiro para ter lucro máximo e o valor do lucro máximo.

Chamamos de excedente do consumidor a soma das diferenças entre as disposições a pagar dos consumidores que adquirem determinado bem e os valores efetivamente pagos por esses consumidores na aquisição desse bem.

Fonte: robguena.fearp.usp.br/Introducao/excedente.imp.pdf (Acesso em 10/09/2021).

Agora suponha a seguinte situação: O professor Fernando da Unicesumar estava interessado em comprar um carro com o dinheiro que ele possuia, porém, como o preço estava um pouco alto, resolveu esperar mais um pouco na esperança de que o valor do carro pudesse diminuir e, assim, obter lucro na transação. Como ele previa, após 2 meses o valor do carro teve uma queda de 0,6% do seu valor inicial, então ele pensou, a hora é agora, e comprou seu carro. Pela definição de excedente do consumidor e essa diferença que o professor Fernando deixou de pagar pelo carro.

e) Se o professor Fernando comprou o carro por R$ 70.200,00 + n mil reais, qual era o preço no primeiro momento que ele pensou em comprar o carro?
f) De uma forma geral, as empresas costumam calcular o preço final dos carros ou outros produtos através de uma relação entre as funções demanda e procura. Assim, elas buscam um equilíbrio entre essas funções. Consideremos P(x) a função que determina a demanda de um produto, x a quantidade de produtos e P o seu valor inicial. O excedente de consumo pode ser expresso por
.
​Imagine que o carro que o professor Fernando comprou tem valor inicial P (sem o desconto que ele recebeu) obtido no item e), e tem função demanda definida por P(x) = 80000 – 100x. Obtenha E.

DICA: Determine x para que P(x) = P e use no limite superior da integral.

Answer 1

Resposta:

altere os calculos para seu num de RA

Explicação passo a passo:

a)

Tendo em vista que o professor Fernando já possui R$60000,00 e a meta a ser alcançada é R$80400,00, então para atingir o alvo será necessário poupar o valor de:

Valor total=80400-60000=R$ 20400,00  

Além disso, será depositado o valor de:

f(x)=2000+40x,onde x indica o mês analisado

Desta forma, temos que valor depositado em cada um dos meses será de:

Valor depositado no mês 1=2000+400*1=2400

Valor depositado no mês 2=2000+400*2=2800

Valor depositado no mês 3=2000+400*3=3200

Valor depositado no mês 4=2000+400*4=3600

Valor depositado no mês 5=2000+400*5=4000

Valor depositado no mês 6=2000+400*6=4400

Logo, o valor total acumulado ao final do sexto mês é de:

Valor acumulado no mês 6=2400+2800+3200+3600+400+4400=R$ 20.400,00

Portanto a meta será atingida ao final do sexto mês!

b)

Considerando n=, temos que a quantia total será de:

Quantia=70200+4000

Quantia=R$ 74.200,00

No 5º mês ele irá alcançar o valor.

c)

Considerando a função g(x) fornecida por:  

g(x)=x/1000

Logo,  

g(f(x))=(2000+400x)/1000

O gráfico da função g(f(x)) é:

 

 

d)

A função que expressa o rendimento é dada por:

R(x)=〖-2x〗^3+6x+2

A derivada da função R(x) é fornecida por:

dR/dx (x)=-6x^2+6

Logo, os pontos críticos da função R(x) são:

dR/dx (x)=0

-6x^2+6=0

6x^2=6

x^2=6/6

x^2=1

x=±√1

x_1=1      e        x_2=-1

A segunda derivada da função R(x) é:

(d^2 R)/dx^2  (x)=-12x

Logo, pelo teste da segunda derivada temos que:

Para x=-1:

(d^2 R)/dx^2  (-1)=-12*(-1)=12

Para x=1:

(d^2 R)/dx^2  (1)=-12*1=-12

Logo, como a derivada segunda em x=1 é menor do que zero, então concluímos que o ponto de máximo da função R(x) é x=1.

Portanto, para alcançar o lucro máximo o investimento deve ser retirado no mês 1.

Além disso, o lucro máximo alcançado tem o valor de:

R(1)=〖-2*(1)〗^3+6*1+2

R(1)=-2+6+2

R(1)=6 %

e)

O valor pago no carro foi de:

Valor pago=70200+4000

Valor pago=74200

Logo, o valor inicial do veículo era de:

Valor pago=(100%-0,6%)*Valor inicial

Valor pago=(99,4%)*Valor inicial

Valor inicial=74200/0,994

Valor inicial=R$ 74.647

f)

A função da demanda é dada por:

P(x)=80000-100x

Além disso, o professor pagou o valor de XXXX no veículo. Logo, para esse valor, temos que a quantidade demandada de veículos é de:

P(x)=76660

80000-100x=76660

100x=80000-76660

100x=3340

x=33,34

Portanto, temos que o excedente de consumo é expresso por:

E∫_0^33,34▒(80000-100x-76660)dx

E=∫_0^33,34▒(3340-100x)dx

E=[3340x-(100x^2)/2]_0^33,34

E=3340*33,4-(100*(33,34)^2)/2-0

E=111556-55577,78

E=R$ 55.978,22