Question

Dados log2=0,30; log3=0,48; log 5=0,7; log7=0,85 calcule:
a) Log 20
b) Log 45
c) Log 1,4
d) Log 125

Answer 1

Neste exercício, utilizaremos duas propriedades logarítmicas, a propriedade do logaritmo do produto e do logaritmo do quociente. Vamos, então, começar relembrando essas propriedades:

$\sf Propriedade~do~Logaritmo~do~Produto:~~\boxed{\sf \log_b(a\cdot c)=\log_ba+\log_bc}\\\\\\\sf Propriedade~do~Logaritmo~do~Quociente:~~\boxed{\sf \log_b\left(\dfrac{a}{c}\right)=\log_ba-\log_bc}$

Em cada item da questão, nosso objetivo será reescrever os logaritmos solicitados em função dos logaritmos conhecidos (log2, log3, log5 e log7), utilizando como auxílio as propriedades vistas acima e a fatoração.

a)

$\sf \underline{Fatorando}~o~logaritmando~(20):\\\\\\\log20~=~\log\,(2\cdot 2\cdot 5)\\\\\\Aplicando~a~propriedade~do~\underline{logaritmo~do~produto}:\\\\\\\log20~=~\log2~+~\log2~+~\log5\\\\\\\underline{Substituindo}~os~valores~dos~logs:\\\\\\\log20~=~0,30~+~0,30~+~0,70\\\\\\\boxed{\sf \log20~=~1,3}$

b)

$\sf \underline{Fatorando}~o~logaritmando~(45):\\\\\\\log45~=~\log\,(3\cdot 3\cdot 5)\\\\\\Aplicando~a~propriedade~do~\underline{logaritmo~do~produto}:\\\\\\\log45~=~\log3~+~\log3~+~\log5\\\\\\\underline{Substituindo}~os~valores~dos~logs:\\\\\\\log45~=~0,48~+~0,48~+~0,70\\\\\\\boxed{\sf \log45~=~1,66}$

c)

$\sf Reescrevendo~o~logaritmando~na~forma~de~\underline{frac\tilde{a}o}:\\\\\\\log1,4~=~\log\left(\dfrac{14}{10}\right)\\\\\\Aplicando~a~propriedade~do~\underline{logaritmo~do~quociente}:\\\\\\\log1,4~=~\log14~-~\log10\\\\\\\underline{Fatorando}~o~logaritmando~14:\\\\\\\log1,4~=~\log\,(2\cdot 7)~-~\log10\\\\\\Aplicando~a~propriedade~do~\underline{logaritmo~do~produto}:\\\\\\\log1,4~=~\left(\log2~+~\log7\right)~-~\log10\\\\\\\underline{Substituindo}~os~valores~dos~logs:$

$\sf \log1,4~=~(0,30~+~0,85)~-~1\\\\\\\log1,4~=~(1,15)~-~1\\\\\\\boxed{\sf \log1,4~=~0,15}$

d)

$\sf \underline{Fatorando}~o~logaritmando~(125):\\\\\\\125~=~\log\,(5\cdot 5\cdot 5)\\\\\\Aplicando~a~propriedade~do~\underline{logaritmo~do~produto}:\\\\\\\log125~=~\log5~+~\log5~+~\log5\\\\\\\underline{Substituindo}~os~valores~dos~logs:\\\\\\\log125~=~0,70~+~0,70~+~0,70\\\\\\\boxed{\sf \log125~=~2,1}$

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$