Question

a) Prove que para todo x > 0 a desigualdade x
x + 1
<
x + 1
x + 2
é válida

Answer 1

Como $x>0$, temos que $x+1>0$ e $x+2>0$ logo $(x+1)(x+2)>0$. Podemos então multiplicar ambos os lados da desigualdade por $(x+1)(x+2)$ sem alterar a relação de desigualdade, ficando com:

$\frac{x}{x+1}\cdot(x+1)(x+2)<\frac{x+1}{x+2}\cdot(x+1)(x+2)$

$x(x+2)<(x+1)^2$

$x^2+2x<x^2+2x+1$

$0<1$

Como a relação acima é verdadeira, a proposição inicial também o é.