Question

A reta x + y = √2 em relação à circunferência x² + y² = 1 é secante, tangente ou exterior?

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Com explicação passo a passo por favor!

Answer 1

Basta calcular a distância da reta ao centro da circunferência. Se a distância for menor que o raio, a reta é secante. Se for igual ela é tangente e se for maior ela é exterior à circunferência.

A distância $d$ de uma reta de equação $ax+by+c=0$ até um ponto $P(x_0,y_0)$ é dada por:

$d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Podemos reescrever a equação da reta dada como $x+y-\sqrt{2}=0$. Da equação da circunferência tiramos que seu centro é $C(0,0)$ e seu raio é 1. Temos então que a distância da reta ao centro da circunferência é:

$d=\frac{|1\cdot0+1\cdot0-\sqrt{2}|}{\sqrt{1^2+1^2}}$

$d=\frac{|-\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=1$

Como a distância é igual ao raio, conclui-se que a reta é tangente à circunferência.