Question

Questão 4: No sistema abaixo, a é um número real constante.

\begin{cases}4x-y^2+4=0\\x^2-2ax+y^2=a^2.\end{cases}

Nestas condições
(a) Determine os valores de a para os quais o sistema admite solução.
(b) Determine o(s) valor(es) de a para os quais há um único valor de x satisfazendo o sistema.
(c) É possível que o sistema admita uma única solução, isto é, haja um único ponto (x,y) satisfazendo o sistema? Em caso afirmativo, qual é o valor de a para o qual isso acontece?

Answer 1

Resposta:

As soluções são:

a) O intervalo $a\leq 1-\sqrt{2} \ ou \ a\geq 1+\sqrt{2}$.

b) Admite uma solução para x = -1, quando a = 1 - √2.

c) O sistema possui uma solução única, quando a = 1 - √2 que é o par (-1,0).

Explicação passo a passo:

Para responder a esta questão vamos utilizar a resolução de sistemas e aplicar as condições apresentadas no enunciado.

Dado o sistema

$\begin{cases}4x-y^2+4=0\\x^2-2ax+y^2=a^2\end{cases}$

Da primeira equação temos

$y^2=4x+4\Rightarrow 4x+4\geq 0\Rightarrow x\geq -1$

(a) Determine os valores de a para os quais o sistema admite solução.

Substituindo a primeira equação na segunda temos:

$x^2-2ax+4x+4-a^2=0\\\\x^2+(4-2a)x+(4-a^2)=0$

Para que se tenha solução devemos ter $\Delta\geq0$.

$(4-2a)^2-4\cdot (4-a^2)\geq 0\\\\16-16a+4a^2-16+4a^2\geq 0\\\\a^2-2a\geq 0\\\\a\leq 0 \ ou \ a\geq 2$

Por outro lado,

$x^2-2ax+a^2=2a^2-y^2\\\\(x-a)^2=2a^2-y^2\\\\x=\sqrt{2a^2-y^2}+a\geq -1\\\\\sqrt{2a^2-y^2}\geq-1-a\\\\2a^2-y^2\geq1+2a+a^2\\a^2-2a-1\geq0\\\\a\leq 1-\sqrt{2} \ ou \ a\geq 1+\sqrt{2}$

Dessa forma aplicando as condições os valores de "a" para que o sistema possua solução são:

$a\leq 1-\sqrt{2} \ ou \ a\geq 2$

(b) Determine o(s) valor(es) de a para os quais há um único valor de x satisfazendo o sistema.

Só temos um único valor de x quando y = 0

$4x-y^2 +4=0\\\\4x+4=0\\\\x=-1$

(c) É possível que o sistema admita uma única solução, isto é, haja um único ponto (x,y) satisfazendo o sistema? Em caso afirmativo, qual é o valor de a para o qual isso acontece?

Sim, admite uma única solução para x = -1 e y =0, isto é, o par (-1,0).