Question

Se a sequência (x - 1, x + 2, 3x, ...) é uma progressão geométrica, pode-se concluir que o valor de x equivale a quanto?​

Answer 1

✅ Progressão geométrica:

Uma sequência numérica é uma progressão geométrica (P.G) se, e somente se, o quociente entre qualquer termo - exceto o primeiro - e o seu antecessor for um valor constante chamado de razão:

Seja a sequência "S":

           $\large\displaystyle\begin{gathered}S = (x - 1, x + 2, 3x,\:\cdots) \end{gathered}$

Podemos calcular a razão "q", tal que:

         $\large\displaystyle\begin{gathered}q' = \frac{x + 2}{x - 1} \end{gathered}$

E...

          $\large\displaystyle\begin{gathered}q'' = \frac{3x}{x + 2} \end{gathered}$

Se a sequência "S" é uma P.G, então:

                $\large\displaystyle\begin{gathered}q'' = q' \end{gathered}$

           $\large\displaystyle\begin{gathered}\frac{3x}{x + 2} = \frac{x + 2}{x - 1} \end{gathered}$

 $\large\displaystyle\begin{gathered}3x\cdot(x - 1) = (x + 2)\cdot(x + 2) \end{gathered}$

      $\large\displaystyle\begin{gathered}3x^{2} - 3x = x^{2} + 4x + 4 \end{gathered}$

   $\large\displaystyle\begin{gathered}3x^{2} - 3x - x^{2} - 4x - 4 = 0 \end{gathered}$

           $\large\displaystyle\begin{gathered}2x^{2} - 7x - 4 = 0\end{gathered}$

Chegamos a uma equação do segundo grau, cujos coeficientes são:

                 $\large\begin{cases}a = 2\\b = -7\\c = -4\end{cases}$

Calculando o valor do delta, temos:

          $\large\displaystyle\begin{gathered}\Delta = b^{2} - 4\cdot a\cdot c \end{gathered}$

               $\large\displaystyle\begin{gathered}= (-7)^{2} - 4\cdot2\cdot(-4) \end{gathered}$

               $\large\displaystyle\begin{gathered}= 49 + 32 \end{gathered}$

               $\large\displaystyle\begin{gathered}= 81 \end{gathered}$

Portanto, o valor do delta é:

           $\large\displaystyle\begin{gathered}\Delta = 81 \end{gathered}$

Aplicando a fórmula de Bhaskara, temos:

       $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta} }{2\cdot a} \end{gathered} }$

           $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= \frac{-(-7) \pm \sqrt{81} }{2\cdot2} \end{gathered} }$

           $\large\displaystyle\begin{gathered}= \frac{7 \pm9}{2} \end{gathered}$

Obtendo as raízes, temos:

     $\large\begin{cases}x' = \frac{7 - 9}{2}= \frac{-2}{2} = -1 \\\\x'' = \frac{7 + 9} {2} = \frac{16}{2} = 8 \end{cases}$

O conjunto solução da equação é:

             $\large\displaystyle\begin{gathered}S = \{-1, 8\} \end{gathered}$

✅ Portanto, "x" pode ter dois possíveis valores que são:

        $\large\displaystyle\begin{gathered}x' = -1\:\:\:e\:\:\:x'' = 8 \end{gathered}$

Observe que no primeiro caso - quando x' = -1 - temos uma P.G. oscilante e no segundo caso - quando x'' = 8 - temos uma P.G. crescente.

Prova:

• Quando x' = -1 (P.G. Oscilante):

        $\large\displaystyle\begin{gathered}P.G = (-1 - 1, -1 + 2, 3\cdot(-1),\:\cdots) \end{gathered}$

        $\large\displaystyle\begin{gathered}P.G = (-2, 1, -3,\:\cdots) \end{gathered}$

• Quando x'' = 8 (P.G. Crescente):

        $\large\displaystyle\begin{gathered}P.G = (8 - 1, 8 + 2, 3\cdot8,\:\cdots) \end{gathered}$

        $\large\displaystyle\begin{gathered}P.G = (7, 10, 24,\:\cdots) \end{gathered}$

             

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