Question

Desafio você a resolver o seguinte problema :)
$\displaystyle \int\limits^ \frac{\pi}{4} _0 \prod_{k=1}^{ \infty }( \dfrac {x}{ {2}^{k} })dx$
​

Answer 1

Desejamos calcular o seguinte problema

          $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \int ^{\frac{\pi}{4}}_{0}\prod _{k=1}^{\infty}\left( \frac{x}{2^k}\right)dx\end{gathered} }$

Vamos primeiramente calcular aquele produtório, que por sinal é muito fácil

  $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\prod _{k=1}^{\infty}\left( \frac{x}{2^k}\right) = \frac{x}{2^1}\cdot \frac{x}{2^2}\cdot \frac{x}{2^3}\cdot \frac{x}{2^4}\cdot \frac{x}{2^5}\cdot \frac{x}{2^6}\cdot\ \dots\ \cdot \frac{x^{\infty}}{2^{\infty}}\end{gathered} }$

 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\prod _{k=1}^{\infty}\left( \frac{x}{2^k}\right) = \frac{x^{\infty}}{\infty}\end{gathered} }$

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\prod _{k=1}^{\infty}\left( \frac{x}{2^k}\right) = 0\end{gathered}$

Sendo esse produtório igual a zero ( constante ), logo

  $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \int ^{\frac{\pi}{4}}_{0}\prod _{k=1}^{\infty}\left( \frac{x}{2^k}\right)dx=\int ^{\frac{\pi}{4}}_{0}0\ dx\end{gathered} }$

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \therefore \boxed{\int ^{\frac{\pi}{4}}_{0}\prod _{k=1}^{\infty}\left( \frac{x}{2^k}\right)dx= 0}\end{gathered} }$

Qualquer dúvida quanto a resolução dada é só chamar!

Veja mais sobre:

• brainly.com.br/tarefa/47785940