Question

Na P.G. (2; a2; a3; a4; a5; 486; ...), Podemos afirmar que a4 é igual a:

Answer 1

Podemos afirmar que a₄ é igual a 54.

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Nota: uma Progressão Geométrica (P.G.) é uma sequência numérica onde um termo é concebido, a partir do segundo, ao multiplicar-se o termo antecessor por uma constante, também chamada de razão (q). Em suma:

                    $\displaystyle\Large\begin{gathered}(a_1,\,\underbrace{a_1\cdot q}_{a_2},\,\underbrace{a_2\cdot q}_{a_3},\,\underbrace{a_3\cdot q}_{a_4},\,\underbrace{a_4\cdot q}_{a_5},\,\underbrace{a_5\cdot q}_{a_6},\,...).\end{gathered}$

Resolução da questão

Temos a P.G.

                                        $\displaystyle\Large(2,\,a_2,\,a_3,\,a_4,\,a_5,\,486,\,...)$

, na qual desejamos encontrar o valor de a₄, que é o 4º termo. Para tal, podemos usufruir da fórmula do termo geral da P.G.:

                                            $\displaystyle\hugea_n=a_1\cdot q^{n\,-\,1}.$

Veja que o e-nésimo termo (aₙ), retratando um termo qualquer, pode ser obtido calculando-se o produto entre o 1º termo (a₁) e a razão (q), cuja é elevada ao número de termos (n) diminuído de uma unidade. Importante: sem o valor da razão, não podemos determinar a₄ ou qualquer outro termo após a₁; por isto, iremos determinar q primeiro.

Se temos o conhecimento de que a₁ = 2 e a₆ = 486, então trabalharemos com n = 6 termos. Logo, segue que

                                                   $\displaystyle\Large\begin{gathered}a_1\cdot q^{n\,-\,1}=a_n\\\\2\cdot q^{6\,-\,1}=a_6\\\\2\cdot q^5=486\\\\q^5=\dfrac{486}{2}\\\\q^5=243\\\\q=\sqrt[5]{243}\\\\q=3.\end{gathered}$

Agora sim é possível encontrar o valor do 4º termo:

                                                     $\displaystyle\Large\begin{gathered}a_n=a_1\cdot q^{n\,-\,1}\\\\a_4=2\cdot 3^{4\,-\,1}\\\\a_4=2\cdot 3^3\\\\a_4=2\cdot27\\\\\,\boxed{a_4=54}\,.\end{gathered}$

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Bons estudos e um forte abraço. — lordCzarnian9635.