Question

Questão 4: No sistema abaixo, a é um número real constante.

4x-y^2+4=0
x^2-2ax+y^2=a^2.

Nestas condições
(a) Determine os valores de a para os quais o sistema admite solução.
(b) Determine o(s) valor(es) de a para os quais há um único valor de x satisfazendo o sistema.
(c) É possível que o sistema admita uma única solução, isto é, haja um único ponto (x,y) satisfazendo o sistema? Em caso afirmativo, qual é o valor de a para o qual isso acontece?

Answer 1

Resposta:

As soluções são:

a) O intervalo a ≤ 1 - √2 ou a ≥ 2.

b) Admite uma solução para x = -1, quando a = 1 - √2.

c) O sistema possui uma solução única, quando a = 1 - √2 que é o par (-1,0).

Explicação passo a passo:

Para responder a esta questão vamos utilizar a resolução de sistemas e aplicar as condições apresentadas no enunciado.

Dado o sistema

$\begin{cases}4x-y^2+4=0\\x^2-2ax+y^2=a^2\end{cases}$

Da primeira equação temos

y² = 4x + 4 ⇒ y = √4x+4 ⇒ x ≥ - 1

a) Determine os valores de "a" para os quais o sistema admite solução.

Substituindo a primeira equação na segunda temos:

x² - 2ax + 4x + 4 - a² = 0

x² + (4 - 2a).x + (4-a²) = 0

Para que se tenha solução devemos ter Δ ≥ 0.

(4 - 2a)² - 4.(4-a²) ≥ 0

16 - 16a + 4a² - 16 + 4a² ≥ 0

8a² - 16a ≥ 0

a ≤ 0 ou a ≥ 2

Por outro lado,

x² - 2ax + a² = 2a² - y²

(x - a)² = 2a² - y²

x = √(2a² - y²) + a ≥ - 1

√(2a² - y²)  ≥ - 1 - a

2a² - y² ≥ 1 + 2a + a²

a² - 2a - 1 ≥ 0

a ≤ 1 - √2 ou a ≥ 1 + √2

Dessa forma aplicando as condições os valores de "a" para que o sistema possua solução são:

a ≤ 1 - √2 ou a ≥ 2

b) Determine o(s) valor(es) de a para os quais há um único valor de x satisfazendo o sistema.

Só temos um único valor de x quando y = 0

4x - y² + 4 = 0

4x + 4 = 0

x = - 1

c) É possível que o sistema admita uma única solução, isto é, haja um único ponto (x,y) satisfazendo o sistema? Em caso afirmativo, qual é o valor de a para o qual isso acontece?

Sim, admite uma única solução para x = -1 e y =0, isto é, o par (-1,0).