Respostas
Resposta: x = 1/2
Explicação passo a passo:
log(10x -3) = 1 na base (2x + 1)
Pela definição de log.
Base "(2x + 1)" elevado ao log "(1)" é igual ao logaritmando "(10x - 3)"
(2x + 1) ¹ = 10x - 3
2x + 1 = 10x - 3
2x - 10x = - 3 - 1
- 8x = - 4
8x = 4
x = 4/8
x = 1/2
Resposta:
LOGARITMOS
Equações Logarítmicas 1° e 2° tipos
a) Log _{x}(4x-3)=Log _{x}(x-1)Log
x
(4x−3)=Log
x
(x−1)
Impondo a condição de existência, para a base e para o logaritmando, temos que:
base x > 0x>0 e x \neq 1x
=1
Logaritmando 4x-3 > 04x−3>0 .:. 4x > 34x>3 .:. x > \frac{3}{4}x>
4
3
(x-1) > 0(x−1)>0 .:. x > 1x>1
Resolução:
Como os logaritmos acima estão em uma mesma base, base x, podemos eliminar as bases e realizar as operações:
4x-3=x-14x−3=x−1
4x-x=-1+34x−x=−1+3
3x=23x=2
x= \frac{2}{3}x=
3
2
Vemos portanto que x não atende a condição de existência, logo:
Solução: { } conjunto vazio
b) Log _{3}(x+3)+Log _{3}(2x-9)=Log _{3}8Log
3
(x+3)+Log
3
(2x−9)=Log
3
8
Verificando a C.E. para o logaritmando x > 0:
(x+3) > 0(x+3)>0 .:. x > -3x>−3
(2x-9) > 0(2x−9)>0 .:. 2x > 92x>9 .:. x > \frac{9}{2}x>
2
9
Como os logaritmos encontram-se na mesma base podemos elimina-las e aplicarmos a p1 (propriedade do produto)
Log _{b}a+Log _{b}c=Log _{b}a*Log _{b}cLog
b
a+Log
b
c=Log
b
a∗Log
b
c
(x+3)(2x-9)=8(x+3)(2x−9)=8
2x^{2}-9x+6x-27=82x
2
−9x+6x−27=8
2 x^{2} -3x-27-8=02x
2
−3x−27−8=0
2 x^{2} -3x-35=02x
2
−3x−35=0
Resolvendo esta equação do 2° grau obtemos as raízes x'= -\frac{7}{2}x
′
=−
2
7
e
x"=5x"=5
Vemos que pela condição de existência somente a 2a raiz satisfaz, portanto:
Solução: {5}
c) Log _{ \frac{1}{3} }(x+1)+Log _{ \frac{1}{3} }(x+5)=Log _{ \frac{1}{3} }(2x-3)Log
3
1
(x+1)+Log
3
1
(x+5)=Log
3
1
(2x−3)
Verificando a C.E., para o logaritmando x > 0, temos:
(x+1) > 0(x+1)>0 .:. x > -1x>−1
(x-5) > 0(x−5)>0 .:. x > 5x>5
(2x-3) > 0(2x−3)>0 .:. 2x > 32x>3 .:. x > \frac{2}{3}x>
3
2
Novamente vimos que os logaritmos estão em uma mesma base, base 1/3, podemos elimina-las e aplicarmos a p1:
(x+1)(x-5)=2x-3(x+1)(x−5)=2x−3
x^{2} -5x+x-5=2x+3x
2
−5x+x−5=2x+3
x^{2} -4x-5-2x-3=0x
2
−4x−5−2x−3=0
x^{2} -6x-8=0x
2
−6x−8=0
Por Báskara encontramos as raízes x=3 \frac{+}{}2 \sqrt{17}x=3
+
2
17
O que pela condição de existência somente a 1a raiz satisfaz.
Solução: {3+2 \sqrt{17}3+2
17
}
d) Log _{2}(2x-1)-Log _{2}(x+2)=Log _{2}(4x+1)-Log _{2}(x+10)Log
2
(2x−1)−Log
2
(x+2)=Log
2
(4x+1)−Log
2
(x+10)
Verificando a C.E. para o logaritmando x > 0, vem:
2x-1>0 x+2>0 4x+1>0 x+10>0
2x>1 x> -2 4x> -1 x> -10
x>1/2 x> -1/4
Se as bases são iguais, base 2, podemos elimina-las e aplicarmos a p2, propriedade do quociente:
Log _{b} a-Log _{b}c=Log _{b} \frac{a}{c}Log
b
a−Log
b
c=Log
b
c
a
\frac{(2x-1)}{(x+2)} = \frac{(4x+1)}{(x+10)}
(x+2)
(2x−1)
=
(x+10)
(4x+1)
(2x-1)(x+10)=(x+2)(4x+1)(2x−1)(x+10)=(x+2)(4x+1)
2 x^{2} +20x-x-10=4 x^{2} +x+8x+22x
2
+20x−x−10=4x
2
+x+8x+2
-2 x^{2} +10x-12=0−2x
2
+10x−12=0 : (-2), temos:
x^{2} -5x+6=0x
2
−5x+6=0
Resolvendo esta equação do 2° grau, obtemos as raízes x'=2 e x"=3
O que pela condição de existência as duas raízes satisfazem.
Solução: {2, 3}