Question

Para que valores de n a sequência, (n-1, 2n+1, 4n é uma pg.

Answer 1

Vamos lá.

Pede-se: para que valores de "n" a sequência abaixo é uma PG:

(n-1; 2n+1; 4n)

Agora veja, Rodrigo, para que uma sequência seja uma PG, é necessário que haja uma razão (q) constante e que seja obtida pela divisão de cada termo consequente pelo seu respectivo antecedente.
Então, para que a sequência acima seja uma PG, deveremos ter isto:

4n/(2n+1) = (2n+1)/(n-1) ---- multiplicando-se em cruz, teremos:

4n*(n-1) = (2n+1)*(2n+1) ---- desenvolvendo os produtos indicados, ficaremos com:

4n² - 4n = 4n² + 4n + 1 ------ passando tudo o que tem "n" para o 1º membro e o que não tem para o 2º, ficaremos assim:

4n² - 4n - 4n² - 4n = 1 --- ordenando, ficaremos com:
4n² - 4n² - 4n - 4n = 1 --- reduzindo os termos semelhantes, ficaremos:

- 8n = 1 ---- multiplicando ambos os membros por "-1", teremos:
8n = - 1
n = - 1/8 <--- Este é o valor de "n" na sequência dada.

Bem, a resposta já está dada. Agora, só por curiosidade, vamos ver que PG será esta. Para isto, substituiremos "n" por "-1/8" na sequência dada.
Assim, teremos:

(n-1; 2n+1; 4n) = (-1/8 - 1; 2*(-1/8) + 1; 4*(-1/8).

Agora veja que:
-1/8 - 1 = (-1 - 8)/8 = (-9)/8 = -9/8
2*(-1/8) + 1 = -2/8 + 1 = (-2+8)/8 = 6/8 = 3/4 (após dividirmos numerador e denominador por "2").
4*(-1/8) = -4/8 = - 1/2 (após dividirmos numerador e denominador por "4".

Assim, fazendo as devidas substituições, então a PG, com os seus três termos seria esta (após substituirmos "n" por "-1/8"):

(- 9/8; 3/4; -1/2) <--- Esta seria a PG.

Agora note que a razão (q) da PG acima deverá ser constante e obtida (como já visto antes) pela divisão de cada termo consequente pelo seu respectivo antecedente. Assim:

q = (-1/2)/(3/4) = (3/4)/(-9/8)  --- desenvolvendo as divisões indicadas, temos:

(-1/2)*(4/3) = (3/4)*(-8/9)
-1*4/2*3 = 3*8/-4*9
-4/6 = -24/36 ---- agora veja: em: "- 4/6", se dividirmos numerador e denominador por "2", ficaremos com: "-2/3"; E em "-24/36", se dividirmos numerador e denominador por "12", ficaremos apenas com: "-2/3".
Assim, no final, como você mesmo poderá concluir, teremos que:

-2/3 = -2/3 = q

Assim, a razão "q" da PG é igual a "-2/3".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

Ok?
Adjemir.