Question

Geometria Analitica
Por favor

Answer 1

Existem apenas quatro possibilidades para as retas r e s:

ou são coincidentes; ou são concorrentes; ou são paralelas; ou são reversas.


a) O ponto $A=(1,\;-1,\;1)\in r\,,$ mas $A\not \in s.$ Logo, $r$ e $s$ não são coincidentes.

Um vetor diretor para a reta $r$ é $\overrightarrow{\mathbf{v}}=(-2,\;1,\;-1).$


A reta $s$ é dada como a interseção entre dois planos dados na forma de equação geral:

$s:~\left\{ \!\!\begin{array}{l} y+z=3\\\\ x+y-z=6 \end{array} \right.$


Os vetores normais destes planos são respectivamente

$\overrightarrow{\mathbf{n}_{1}}=(0,\;1,\;1)~~\text{ e }~~\overrightarrow{\mathbf{n}_{2}}=(1,\;1,\;-1)$


O vetor diretor de $s$ é simultaneamente ortogonal aos vetores $\overrightarrow{\mathbf{n}_{1}}$ e $\overrightarrow{\mathbf{n}_{2}}.$ Então, façamos o produto vetorial:

$\overrightarrow{\mathbf{n}_{1}}\times\overrightarrow{\mathbf{n}_{2}}=\det\!\left[\begin{array}{ccc} \overrightarrow{\mathbf{i}}&\overrightarrow{\mathbf{j}}&\overrightarrow{\mathbf{k}}\\ 0&1&1\\ 1&1&-1 \end{array}\right]\\\\\\ =(1\cdot (-1)-1\cdot 1)\overrightarrow{\mathbf{i}}+(1\cdot 1-(-1)\cdot 0)\overrightarrow{\mathbf{j}}+(0\cdot 1-1\cdot 1)\overrightarrow{\mathbf{k}}\\\\ =(-1-1)\overrightarrow{\mathbf{i}}+(1+0)\overrightarrow{\mathbf{j}}+(0-1)\overrightarrow{\mathbf{k}}\\\\ =-2\overrightarrow{\mathbf{i}}+1\overrightarrow{\mathbf{j}}-1\overrightarrow{\mathbf{k}}\\\\ =(-2,\;1,\;-1)$


Tomemos como vetor diretor de $s$ o vetor $\overrightarrow{\mathbf{w}}=(-2,\;1,\;-1).$ Comparando os vetores diretores das retas $r$ e $s$ concluímos que

$\overrightarrow{\mathbf{v}}\parallel\overrightarrow{\mathbf{w}}~~\text{ e }~~r\ne s$

(os vetores diretores são paralelos, mas as retas são diferentes)


Logo, $r$ e $s$ são paralelas.

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b) Agora, ambas as retas $r$ e $s$ são dadas como a interseção entre dois planos.

$\begin{array}{ll} r:~\left\{ \begin{array}{l} x-y-z=2\\\\ x+y-z=0 \end{array} \right.~~~~&~~~~s:~\left\{ \begin{array}{l} 2x-3y+z=5\\\\ x+y-2z=0 \end{array} \right. \end{array}$


O ponto $B=(1,\;-1,\;0)\in r,$ e $B\in s.$ Então, as retas tem pelo menos um ponto em comum, que é o ponto $B.$ Sendo assim, $r$ e $s$ não são paralelas, e também não são reversas.


$\bullet~~$ O vetor diretor $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ de $r$ tem direção perpendicular aos vetores normais dos planos que contêm $r:$

$\overrightarrow{\mathbf{n}_{1}}=(1,\;-1,\;-1)~~\text{ e }~~\overrightarrow{\mathbf{n}_{2}}=(1,\;1,\;-1)$


Calculando o produto vetorial:

$\overrightarrow{\mathbf{n}_{1}}\times \overrightarrow{\mathbf{n}_{2}}=\det\!\left[ \begin{array}{ccc} \overrightarrow{\mathbf{i}}&\overrightarrow{\mathbf{j}}&\overrightarrow{\mathbf{k}}\\ 1&-1&-1\\ 1&1&-1 \end{array} \right]\\\\\\ =((-1)\cdot (-1)-1\cdot (-1))\overrightarrow{\mathbf{i}}+(1\cdot (-1)-1\cdot (-1))\overrightarrow{\mathbf{j}}+(1\cdot 1-1\cdot (-1))\overrightarrow{\mathbf{k}}\\\\\\ =(1+1)\overrightarrow{\mathbf{i}}+(-1+1)\overrightarrow{\mathbf{j}}+(1+1)\overrightarrow{\mathbf{k}}\\\\\\ =2\overrightarrow{\mathbf{i}}+0\overrightarrow{\mathbf{j}}+2\overrightarrow{\mathbf{k}}\\\\\\ =(2,\;0,\;2)\\\\ =2\cdot (1,\;0,\;1)$


Um vetor diretor para $r$ é $\overrightarrow{\mathbf{v}}=(1,\;0,\;1).$


$\bullet~~$ De maneira análoga, os vetores normais aos planos que contêm $s$ são

$\overrightarrow{\mathbf{n}_{3}}=(2,\;-3,\;1)~~\text{ e }~~\overrightarrow{\mathbf{n}_{4}}=(1,\;1,\;-2)$


Calculando o produto vetorial:

$\overrightarrow{\mathbf{n}_{3}}\times \overrightarrow{\mathbf{n}_{4}}=\det\!\left[ \begin{array}{ccc} \overrightarrow{\mathbf{i}}&\overrightarrow{\mathbf{j}}&\overrightarrow{\mathbf{k}}\\ 2&-3&1\\ 1&1&-2 \end{array} \right]\\\\\\ =((-3)\cdot (-2)-1\cdot 1)\overrightarrow{\mathbf{i}}+(1\cdot 1-(-2)\cdot 2)\overrightarrow{\mathbf{j}}+(2\cdot 1-1\cdot (-3))\overrightarrow{\mathbf{k}}\\\\ =5\overrightarrow{\mathbf{i}}+5\overrightarrow{\mathbf{j}}+5\overrightarrow{\mathbf{k}}\\\\ =(5,\;5,\;5)\\\\ =5\cdot (1,\;1,\;1)$


Um vetor diretor para $s$ é $\overrightarrow{\mathbf{w}}=(1,\;1,\;1).$


Como $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ e $\overrightarrow{\mathbf{w}}$ não são paralelos, $r$ e $s$ não podem ser coincidentes.


Logo, $r$ e $s$ são concorrentes.