Question

Critério de divisibilidade e resto da divisão por 7.
Dado um número natural escrito na forma n = 10a + b, sendo a natural e b algarismo, temos o seguinte critério de divisibilidade de 10a + b por 7:

10a + b é divisível por 7 se, e somente se, a - 2b é divisível por 7. (i)

Observe que a - 2b é sempre um número menor que 10a + b, de forma que podemos verificar a divisibilidade por 7 mais facilmente ao reduzirmos o número inicial. Por outro lado, propomos o seguinte:

Dado um número natural a - 2b,

se a - 2b deixa resto r na divisão por 7, então 10a + b deixa o mesmo resto que 3r na divisão por 7, ou em notação de congruência,

a - 2b ≡ r (mod 7) ⇒ 10a + b ≡ 3r (mod 7) (ii)

a) Mostre que a proposição (ii) é válida.
b) Usando o resultado da proposição (ii), calcule o resto da divisão de 81492 por 7.

Answer 1

Para responder aos itens desta questão, vamos relembrar que é válida a seguinte proposição:

Proposição. Sejam $x, y$ números inteiros e $m$ um natural maior do que zero. Então, $x\equiv y\pmod m$ se, e somente se, $m\mid x-y.$

Simbolicamente, tem-se:

$\Largex\equiv y\pmod m\iff m\mid x-y.$

Item a

Queremos mostrar que vale a seguinte proposição:

$a-2b\equiv \pmod7\implies10a+b\equiv3r\pmod7.$

Se $a-2b\equiv r\pmod 7,$ então, pela proposição mencionada anteriormente, segue que $7\mid a-2b-r.$ Desse modo, existe um $k\in\mathbb{Z}$ tal que $a-2b-r=7k.$ Multiplicando ambos os membros dessa última igualdade por $10$ segue que:

$\Large10a-20b-10r=70k.$

Agora adicionando $b$ a ambos os membros, vem que:

$\Large\begin{aligned}&10a-20b-10r=70k\\\\&10a-20b-10r+b=70k+b\\\\&10a+b=70k+b+20b+10r\\\\&10a+b=70k+21b+7r+3r\\\\&10a+b=7\cdot(10k+3b+r)+3r\\\\&10a+b-3r=7\cdot(10k+3b+r)\end{aligned}$

Logo, $7\mid 10a+b-3r.$ Consequentemente:

$\Large10a+b\equiv3r\pmod7.\quad\square$

Item b

Neste item, deseja-se calcular o resto da divisão de 81492 por 7 usando o resultado demonstrado no item anterior.

Veja que podemos escrever $81492=10\cdot8149+2.$ Veja que, neste caso, $a=8149$ e $b=2.$ Daí, $a-2b=8149-4=8145.$ Agora note que $8145=10\cdot814+5$ e $814-10=804.$ Aplicando mais uma vez segue que $804=10\cdot80+4$ e $80-8=72.$  Agora veja $72=10\cdot7+2,$ ou seja, o resto da divisão de $72$ por $7$ é 2. Daí, pela proposição (ii), $804\equiv6\pmod 7.$ Logo, o resto da divisão de 804 por 7 é 6. Seguindo esse raciocínio, temos $8145\equiv18\pmod7.$ Então, o resto da divisão de 8145 por 7 é 4. Consequentemente, $81492\equiv12\pmod7,$ isto é, o resto da divisão de 81492 por 7 é igual a 5.

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