Question

Quantos anagramas da palavra PIRACICABA, terminam em vogal? Calcule.

Answer 1

Um anagrama é formado pela reordenação das letras em uma palavra, isto é, são formados permutando as letras. Assim, de forma geral, calculamos o número total de anagramas por meio de uma permutação.

Isso é verdade para toda palavra que possua repetição de alguma de suas letras, no entanto, quando há repetição de letras, precisamos fazer mais algumas considerações.

Veja, por exemplo, a palavra "ala", se permutarmos as duas letras "a" entre si, não estaremos formando uma nova palavra, um anagrama, logo é necessário que sejam desconsideradas as permutações de letras repetidas na contagem dos anagramas.

Assim, sendo x₁, x₂, x₃, ... xₙ os números de ocorrências de uma letra na palavra  analisada, a quantidade de anagramas será dada:

$\boxed{\sf Qnt~de~Anagramas~=~\dfrac{n!}{x_1!\cdot x_2!\cdot x_3!\cdot \hdots\cdot x_n!}}\\\\\\\sf n:~quantidade~de~letras~da~palavra$

Voltando ao exercício proposto, vamos começar contando o número de ocorrências de cada uma das letras na palavra:

$\begin{array}{|c|c|}\cline{1-2}\sf Letra&\sf N^\circ~ocorrencias\\\cline{1-2}\sf P&\sf 1\\\cline{1-2}\sf I&\sf 2\\\cline{1-2}\sf R&\sf 1\\\cline{1-2}\sf A&\sf 3\\\cline{1-2}\sf C&\sf 2\\\cline{1-2}\sf B&\sf 1\\\cline{1-2}\end{array}$

Dessa forma, caso não tivéssemos outras restrições, a quantidade de anagramas seria dada por:

$\sf Qnt~de~Anagramas~=~\dfrac{10!}{1!\cdot 2!\cdot1!\cdot 3!\cdot 2!\cdot 1! }$

No entanto, o enunciado nos impõe outra restrição: o anagrama deve terminar por uma vogal.

Como vimos, as duas vogais na palavra PIRACICABA são "A" e "I", portanto vamos "dividir" o problema em dois:

• Anagramas de PIRACICABA terminados em "A"
• Anagramas de PIRACICABA terminados em "I"

Quantidade de anagramas terminados em "A":  Como temos por certo que a última letra será a vogal "A", restam 9 letras para serem permutadas, lembrando que já "gastamos" uma das 3 letras "A".

$\sf ^{Qnt~de~Anagramas}_{~Terminados~em~A}~=~\dfrac{9!}{1!\cdot 2!\cdot 1!\cdot (3-1)!\cdot 2!\cdot 1!}\\\\\\\sf ^{Qnt~de~Anagramas}_{~Terminados~em~A}~=~\dfrac{9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{1\cdot 2\cdot 1\cdot 1\cdot (2)!\cdot 2\cdot 1\cdot 1}\\\\\\\sf ^{Qnt~de~Anagramas}_{~Terminados~em~A}~=~\dfrac{9\cdot \not8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{1\cdot \not2\cdot 1\cdot 1\cdot \not2\cdot1 \cdot \not2\cdot 1\cdot 1}$

$\sf ^{Qnt~de~Anagramas}_{~Terminados~em~A}~=~9\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\\\\\\\boxed{\sf ^{Qnt~de~Anagramas}_{~Terminados~em~A}~=~45\,360}$

Quantidade de anagramas terminados em "I":  Como temos por certo que a última letra será a vogal "I", restam 9 letras para serem permutadas, lembrando que já "gastamos" uma das 2 letras "I".

$\sf ^{Qnt~de~Anagramas}_{~Terminados~em~I}~=~\dfrac{9!}{1!\cdot (2-1)!\cdot 1!\cdot 3!\cdot 2!\cdot 1!}\\\\\\\sf ^{Qnt~de~Anagramas}_{~Terminados~em~I}~=~\dfrac{9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{1\cdot (1)!\cdot 1\cdot 1\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot 2\cdot 1\cdot 1}\\\\\\\sf ^{Qnt~de~Anagramas}_{~Terminados~em~I}~=~\dfrac{9\cdot 8\cdot 7\cdot \not6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot \not2\cdot 1}{1\cdot 1\cdot 1\cdot 1\cdot \not3\cdot \not2\cdot1 \cdot \not2\cdot 1\cdot 1}$

$\sf ^{Qnt~de~Anagramas}_{~Terminados~em~I}~=~9\cdot8\cdot 7\cdot5\cdot 4\cdot 3\\\\\\\boxed{\sf ^{Qnt~de~Anagramas}_{~Terminados~em~I}~=~30\,240}$

Somando todos anagramas terminados por A aos anagramas terminados por I, teremos o total de anagramas terminados por vogal da palavra PIRACICABA:

$\sf ^{Qnt~Anagramas~terminados}_{por~Vogal~de~"PIRACICABA"}~=~\sf ^{Qnt~de~Anagramas}_{~Terminados~em~A}~+~\sf ^{Qnt~de~Anagramas}_{~Terminados~em~I}\\\\\\\sf ^{Qnt~Anagramas~terminados}_{por~Vogal~de~"PIRACICABA"}~=~45360~+~30240\\\\\\\boxed{\sf ^{Qnt~Anagramas~terminados}_{por~Vogal~de~"PIRACICABA"}~=~75\,600}~~\Rightarrow~Resposta$

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$