Question

Se 2x+y=3, o valor mínimo de √x²+y² é:

a-) 1/5

b-)2/5

c-) √45/7

d-)√45/5

e-)√3

Answer 1

O valor mínimo de $\sqrt{x^2+y^2}$ se $2x+y=3$ é

$\Large\text{ \dfrac{\sqrt{45}}{5}. }$

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Para resolver esta questão, podemos usar a desigualdade de Cauchy-Schwarz.

Teorema (Desigualdade de Cauchy-Schwarz).  Se $(a_1,a_2,\ldots,a_n)$ e $(b_1,b_2,\ldots,b_n)$ são duas listas de números reais, então:

$\Large\text{ \displaystyle\left(\sum_{i=1}^{n}a_{i}^2\right)\cdot\left(\sum_{i=1}^{n}b_{i}^2\right)\geq\left(\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right)^2 .}$

Assim, para quatro números reais $a,b,c$ e $d,$ podemos escrever:

$\Large(a^2+b^2)(c^2+d^2)\geq(ac+bd)^2.$

Nesta questão, é dado $2x+y=3$ e pede-se o valor mínimo de $\sqrt{x^2+y^2}.$

Usando a desigualdade apresentada, vem que:

$\Large\begin{gathered}(x^2+y^2)(2^2+1^2)\geq(2x+y)^2\\\\(x^2+y^2)(4+1)\geq3^2\\\\(x^2+y^2)\cdot5\geq9\\\\x^2+y^2\geq\dfrac{9}{5}.\end{gathered}$

Daí, temos:

$\Large\begin{gathered}\sqrt{x^2+y^2}\geq\sqrt{\dfrac{9}{5}}\\\\\sqrt{x^2+y^2}\geq\dfrac{\sqrt{9}}{\sqrt{5}}\\\\\sqrt{x^2+y^2}\geq\dfrac{\sqrt{9}}{\sqrt{5}}\cdot\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\\\\\sqrt{x^2+y^2}\geq\dfrac{\sqrt{45}}{5}.\end{gathered}$

Portanto, o valor mínimo assumido por $\sqrt{x^2+y^2},$ nas condições dadas, é

$\Large\text{ \dfrac{\sqrt{45}}{5}, }$

que é a resposta contida na alternativa "d".

Esperto ter ajudado!

Se quiser ver uma outra questão resolvida usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz, acesse: brainly.com.br/tarefa/27427728.