Question

calcule as seguntes potencias das unidades imaginárias í¹⁵​

Answer 1

Explicação passo a passo:

Okay, vamos lá.

sabemos que

$i=\sqrt{-1}$

okay, agora podemos elevar ao quadrado.

$i^{2}=-1$

e vamos tentar achar um padrão.

$i^{3} = i^{2}.i\\i^{3} =-1.i\\i^{3} =-i$

organizando direitinho, temos

i

i²=-1

i³=-i

okay.

$i^{4} =i^{2}.i^{2} \\i^{4} =1$

okay, então todas as potencias de múltiplos de 4, resultam em 1 e assim por diante.

temos que

i^15=i¹².i³

i^15=1.-i

i^15=-i

solved :/(se tiver como dar melhor resposta, ajudaria bastante.)

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o valor  da referida potência da unidade imaginária é:

             $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf P(i^{15}) = -i\:\:\:}}\end{gathered} }$

Seja a potência da unidade imaginária:

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered} i^{15}\end{gathered}$

Para calcular o valor desta potência devemos utilizar a seguinte fórmula:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf I\end{gathered}$            $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} P(i^{n}) = i^{n - \left[\bigg\lfloor\dfrac{n}{4}\bigg\rfloor\cdot4\right]},\:\:n\in\mathbb{Z}\end{gathered} }$

Onde:

         $\Large\begin{cases} P = Pot\hat{e}ncia\:final\\i = Unidade\:imagin\acute{a}ria\\n = Pot\hat{e}ncia\:inicial\end{cases}$

Observe que a parte da fórmula representada por...

                             $\Large\displaystyle\begin{gathered} \bigg\lfloor\dfrac{n}{4}\bigg\rfloor\end{gathered}$

...representa o piso do quociente entre o valor do expoente "n" e "4".

Substituindo os valores na equação "I", temos:

           $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} P(i^{15}) = i^{15 -\left[\bigg\lfloor\dfrac{15}{4}\bigg\rfloor\cdot4\right]}\end{gathered} }$

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered} = i^{15 -\left[\lfloor3,75\rfloor\cdot4\right]}\end{gathered}$

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered} = i^{15 - \left[3\cdot4\right]}\end{gathered}$

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered} = i^{15 - 12}\end{gathered}$

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered} = i^3\end{gathered}$

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered} = i\cdot i \cdot i\end{gathered}$

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered} = i^{2}\cdot i\end{gathered}$

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered} = -1\cdot i\end{gathered}$

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered} = -i\end{gathered}$

✅ Portanto, o resultado é:

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} P(i^{15}) = -i\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

Saiba mais:

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