Question

DETERMINE A SOMA DA SEGUINTE PG INFINITA (10,4,8/5)

Answer 1

Vamos lá.

Pede-se a soma da seguinte PG infinita:

(10; 4; 8/5; ..........)

Veja que se trata de uma PG cujo primeiro termo (a1) é igual a "10" e cuja razão (q) é igual a "2/5", pois:

(8/5)/4 = 8/5*4 = 8/20 = 2/5 --- (após simplificarmos tudo por "4")
e
4/10 = 2/5 --- (após simplificarmos tudo por "2").

Dessa forma, como você mesmo pôde concluir, a razão é constante e é obtida pela divisão de cada termo consequente pelo seu respectivo antecedente.

Agora vamos à soma pedida.
Note que a soma dos termos de uma PG infinita (com razão entre "0" e "1", como é o caso da razão da PG infinita acima) é dada com a utilização da seguinte fórmula:

Sn = a1/(1-q)

Na fórmula acima "Sn" é a soma dos "n" primeiros termos da PG. Por sua vez,  "a1" é o primeiro termo, que vamos substituir por "10" (que é o primeiro termo da PG), e finalmente, "q" é a razão, que vamos substituir por "2/5"
Assim, fazendo essas substituições, teremos:

Sn = 10/(1 - 2/5) ---- veja que 1 - 2/5 = 3/5. Assim, substituindo, teremos:

Sn = 10/(3/5) ---- note que aqui temos uma divisão de frações. Regra: conservava-se a primeira fração como está e multiplica-se inverso da segunda. Assim, ficaremos com:

Sn = (10/1)*(5/3)
Sn = 10*5/1*3
Sn = 50/3 <--- Esta é a resposta expressa em forma de fração.

Se você quiser a resposta em forma decimal, então basta dividir 50 por 3 e obterá:16,6666....., o que poderá ser arredondado para: 16,67.
Assim:

Sn = 16,67 (aproximadamente) <--- A resposta também poderia ser apresentada desta forma.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

Ok?
Adjemir.

Answer 2

S=a1÷1-q

S= 10÷1-2/5

S=10÷3/5

S=16,66