Question

O gráfico abaixo representa a transformação sofrida por um gás ideal. Qual foi o trabalho mecânico realizado pelo gás enquanto o seu volume variou de 4 a 7 m³?​

Answer 1

Resposta:

$9\times 10^5\;\mathrm{J}.$

Explicação:

Em um diagrama PV (pressão-volume), o trabalho é sempre a área sob a curva.

Neste caso, trata-se da área hachurada (em azul).

Note que a área forma um trapézio, ou ainda você pode subdividi-la em um triângulo e um retângulo. De qualquer maneira funciona para calcular esta área.

Vou resolver quebrando a área total em um triângulo e um retângulo, pois acredito que seja mais didático.

Veja a figura em anexo. Chamei de AT a área do triângulo e AR a área do retângulo.

$AT = \frac{\text{BASE}\times\text{ALTURA}}{2} = \frac{(4\times 10^5 \;\mathrm{N/m^2} - 2\times 10^5\;\mathrm{N/m^2})\times (7\;\mathrm{m^3} - 4\;\mathrm{m^3})}{2}\\\\AT = \frac{2\times 10^5 \times 3\;\mathrm{J}}{2} = 3\times 10^5\;\mathrm{J}$

e para o retângulo:

$AR = \textrm{BASE}\times \textrm{ALTURA} = (7\;\mathrm{m^3} - 4\;\mathrm{m^3})\times (2\times 10^5 \;\mathrm{N/m^2} - 0)\\AR = 3\times 2\times 10^5\;\mathrm{J}\\AR = 6\times 10^5\;\mathrm{J}.$

Somando as áreas calculadas separadamente, temos a área total:

$6\times 10^5\;\mathrm{J} + 3\times 10^5\;\mathrm{J} = 9\times 10^5\;\mathrm{J}.$

Comentários adicionais:

Como eu sei que precisa calcular a área?

Neste caso, a pressão varia junto com o volume. Se fosse uma transformação isobárica (a pressão constante), também precisaria calcular a área, mas seria mais fácil: seria apenas a área de um retângulo, e valeria a expressão bem mais simples: $P\Delta V$.

Como eu sei que o resultado é em joules?

Primeiro que trabalho é variação de energia, num sentido amplo. Assim, possui unidade de medida de energia.

Segundo, que como multiplicamos uma quantidade em pascais ($N/m^2$) por uma quantidade em metros cúbicos ($m^3$), então teremos:

$\frac{N}{m^2} \times m^3 = N\cdot m$

Mas observe que

$N\cdot m = kg\cdot \frac{m}{s^2}\times m = kg \cdot \frac{m^2}{s^2}$,

que é precisamente a definição do joule (J).

Bons estudos!