Question

Ache os pontos de máximo e mínimo locais da função f(x) = x³ - 3x


Questão de Cálculo I.


Ajudem aqui, por favor ​

Answer 1

Resposta:

Máximos locais: (-1, 2)

Mínimos locais: (1, -2)

Resolução:

Recorremos ao

Teorema do "Deriva e iguala a 0":

"Seja f: R->R uma função real diferenciável. Os máximos e mínimos locais (ou globais) (x, f(x)) do gráfico desta função satisfazem

f'(x) = 0."

Derivando f(x) = x^3 - 3x, temos

f'(x) = 3x^2 - 3

Igualando a 0, temos

3x^2 - 3 = 0

3x^2 = 3

x^2 = 1

x = 1 ou x = -1

Substituindo em f, temos (1, -2) e (-1, 2) como potenciais máximos e mínimos locais. Entretanto, para determinar sua espécie (e se é um máximo ou um mínimo local), precisamos do teste da segunda derivada:

f''(x) = 6x

f''(-1) = -6 < 0 -> máximo local

f''(1) = 6 > 0 -> mínimo local

Logo, (1, -2) e (-1, 2) são mínimo local e máximo local, respectivamente.

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que os pontos de  máximo local e mínimo da referida função polinomial do terceiro grau - função cúbica - são, respectivamente:

 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf M_{a} = (-1, \,2)\:\:\:e\:\:\:M_{i} = (1, -2)\:\:\:}}\end{gathered} }$

Seja a função:

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} f(x) = x^{3} - 3x\end{gathered}$

Observando a função percebemos que a mesma é  uma função polinomial de grau "3", isto é, uma função cúbica. Neste caso, a referida função terá dois pontos críticos. Sabemos também que o ponto crítico é aquele no qual a derivada primeira da função é igual a "0". Além disso, sabemos também que os pontos críticos de uma  função podem  ser chamados de pontos de máximo ou pontos de mínimos locais. Então, para resolver esta questão devemos:

• Obter a derivada primeira da função:

          $\Large\displaystyle\begin{gathered} f'(x) = 3\cdot1\cdot x^{3 - 1} - 1\cdot3\cdot x^{1 - 1}\end{gathered}$

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 3x^{2} - 3\end{gathered}$

• Calcular as abscissas do pontos de críticos. Para isso, devemos calcular o valor de "x" quando a derivada primeira for igual a "0", ou seja:

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered} f'(x) = 0\end{gathered}$

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered} 3x^{2} - 3 = 0\end{gathered}$

                                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} 3x^{2} = 3\end{gathered}$

                                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} = \frac{3}{3}\end{gathered}$

                                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} = 1\end{gathered}$

                                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} x = \pm\sqrt{1}\end{gathered}$

                                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} x = \pm1\end{gathered}$

                           $\Large\displaystyle\begin{gathered} \therefore\:\:\:x = \pm1\end{gathered}$

        Portanto, o valores de "x" pertencem ao seguinte conjunto solução:

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered} S = \{-1,\,1\}\end{gathered}$

• Obter as ordenadas dos pontos críticos. Para isso, devemos obter o valor numérico da função quando x = +-1. Então, temos:

        Quando x' = -1:

                           $\Large\displaystyle\begin{gathered} y' = f(x')\end{gathered}$

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (-1)^{3} - 3\cdot(-1)\end{gathered}$

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered} = -1 + 3\end{gathered}$

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 2\end{gathered}$

          Portanto, o primeiro ponto crítico é:

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered} C_{1} = (-1, \,2)\end{gathered}$

         Quando x'' = 1:

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered} y'' = f(x'')\end{gathered}$

                                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 1^{3} - 3\cdot1\end{gathered}$

                                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 1 - 3\end{gathered}$

                                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} = -2\end{gathered}$

           Portanto, o segundo ponto crítico é:

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered} C_{2} = (1,\,-2)\end{gathered}$

Deste modo, o ponto de máximo local será o ponto crítico que tiver maior ordenada. Portanto, o ponto de máximo local é:

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} M_{a} = C_{1} = (-1, \,2)\end{gathered}$

Além disso, o ponto de mínimo local será o ponto crítico que tiver menor ordenada. Portanto, o ponto de mínimo local é:

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} M_{i} = C_{2} = (1, \,-2)\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

Saiba mais:

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$