Question

utilizamos as definições e propriedades de vetores na resolução de operações vetoriais. Dados os vetores u(-2,0,-3), v(2,4,0) e w=(-1,-2,1) no espaço tridimensional, resolvaos seguintes item: a) Qual o componente do vetor(u-v)x(u+w)? b) Qual a área do paralelogramo formado por u e v? c) Qual o volume do paralelepípedo formado por u,v e w a partir do produto (uxv).=w?

Answer 1

a)

Vamos achar primeiramente (u - v)

u - v = (-2, 0, -3) - (2, 4, 0)

u - v = (-2-2, 0 - 4, -3 -0)

u-v = (-4,-4,-3)




Agora iremos achar ( u+w)

u+w = (-2,0,-3) +(-1,-2,1)

u+w= (-2-1, 0-2,-3+1)

u+w= (-3,-2,-2)


Agora iremos calcular o produto vetorial entre (u-v) e (u+w)





$\\ (u-v)X(u-w) = \left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\-4&-4&-3\\-3&-2&-2\end{array}\right] \\ \\ \\= i*-4*-2+j*-3*-3+-4*-2*k -[-3*-4*k+-4*j*-2 \\ -2*-3*i] \\ \\ = 8i+9j+8k -[12k+8j+6i] \\ \\ =8i-6i+9j-8j+8k-12k \\ \\ =2i+1j-4k$



B)

A area é o modulo do produto vetorial entre uXv

Area =



$\\ = \left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\-2&0&-3\\2&4&0\end{array}\right] \\ \\= i*0*0+j*-3*2-2*4*k- [ 2*0*k+4*-3*i-2*j*0] \\ \\ =0i-6j-8k-[0k-12i-0j] \\ \\ = 0i+12i-6j+0j-8k-0k \\ \\= 12i-6j-8k$

Area sera o Modulo:

Area = |uXv|

Area = √Δxi²+Δyj²+Δkz²

Area = √12²+(-6)²+(-8)²

Area = √144+36+64

area = √244

area ≈ 15,62 u.a


O volume sera |(uXv).w |= 

$\\ | \left[\begin{array}{ccc}-2&0&-3\\2&4&0\\-1&-2&1\end{array}\right] | \\ \\ \\|-2*4*1+0*0*-1+2*-2*-3- [-1*4*-3+2*0*1+ \\ -2*0*-2]| \\ \\| -8+0+12-[ 12+0+0]| \\ \\ |-8+12-12| \\ \\ |-8u.a|$

Volume = 8.ua