Question

Divisibilidade
Se x | y e p | q, então xp | yq. Como demonstrar?

Answer 1

Para fazer a demonstração pedida, cabe relembrar a definição de divisibilidade entre dois números inteiros.

Definição (Divisibilidade). Sejam $\tt a$ e $\tt b$ dois número inteiros. Diz-se que $\tt a$ divide $\tt b$ quando existe um inteiro $\tt c$ tal que $\tt b=a\cdot c.$

Se $\tt a$ divide $\tt b,$ escreve-se $\tt a\mid b.$ Caso contrário, escreve-se $\tt a\nmid b.$

Relembrada a definição, vamos à demonstração.

Proposição. Se $\tt x\mid y$ e $\tt p\mid q,$ então $\tt xp\mid yq.$

Demonstração. Por hipótese, $\tt x\mid y$ e $\tt p\mid q.$ Desse modo, existem inteiros $\tt k_1$ e $\tt k_2$ tais que $\tt y=k_1\cdot x$ e $\tt q=k_2\cdot p.$ Por conseguinte, temos

$\Large\begin{aligned}\tt y\cdot q&=\tt(k_1\cdot x)\cdot(k_2\cdot p)\\\\&=\tt (k_1\cdot k_2)\cdot(x\cdot p).\end{aligned}$

Com $\tt k_1, k_2\in\mathbb{Z},$ então $\tt k_1 \cdot k_2\in\mathbb{Z}.$ Chamando $\tt k_1\cdot k_2=k,$ podemos escrever $\tt yq=k\cdot(xp).$

Portanto, $\tt xp \mid yq,$ como queríamos demonstrar.

Espero ter ajudado!

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