Question

A regra do produto nos diz que sejam f(x) e g(x) funções
deriváveis em Xo, então, o produto delas r(x) = f(x) · g(x)
também é derivável em xoe a derivada satisfaz a fórmula
T'(x) = f'(x) · g(x) + f(x) · g'(x).
Sejam as funções f(x) = x2 - 4x +1 e g(x) = -x + 2x,
assinale a alternativa que contenha a derivada de r(x):

Answer 1

Resposta:

r'(x) = - 5x⁴ + 16x³ + 3x² - 16x + 2

Explicação passo a passo

De acordo com o enunciado temos:

f(x) = x² - 4x + 1 e g(x) = - x³ + 2x tal que r(x) = f(x) . g(x).

Derivando f(x) = x² - 4x + 1 teremos:

f'(x) = 2x - 4

Derivando g(x) = - x³ + 2x teremos:

g'(x) = -3x² + 2

Substituindo na regra de derivação do produto obtemos:

r'(x) = f'(x) . g(x) + f(x) . g'(x)

r'(x) = (2x - 4) . (- x³ + 2x) + (x² - 4x + 1) . (-3x² + 2)

Aplicando a propriedade distributiva

r'(x) = - 2x⁴ + 4x² + 4x³ - 8x - 3x⁴ + 2x² + 12x³ - 8x - 3x² + 2

Simplificando os monômios semelhantes

r'(x) = - 5x⁴ + 16x³ + 3x² - 16x + 2

Answer 2

Utilizando a regra da derivada do produto e a fórmula da derivada de uma função polinomial, obtemos que $f(x)*g(x) = -5x^4 + 16x^3 + 3x^2 - 16x + 2$.

Derivada do produto

Para calcular a derivada do produto das funções f e g vamos precisar das derivadas de cada uma dessas funções. Como as funções f e g são ambas funções polinomiais, temos que, são diferenciáveis e as derivadas podem ser calculadas pela regra do tombo.

Ou seja, basta subtrair uma unidade do expoente e multiplicar o coeficiente associado ao expoente original, lembre que a derivada de uma constante é igual a zero. Dessa forma, podemos escrever:

$f(x) = x^2 - 4x + 1 \Rightarrow f' (x) = 2x - 4$

$g(x) = -x^3 + 2x \Rightarrow g' (x) = -3x^2 + 2$

Substituindo esses resultados na fórmula da derivada do produto dada no enunciado da questão, concluímos que:

$r'(x) = f'(x) * g(x) + f(x)* g'(x)$

$r'(x) = (2x - 4) * (-x^3 + 2x) + (x^2 - 4x + 1)* (-3x^2 + 2)$

$r'(x) = -2x^4 + 4x^2 + 4x^3 - 8x + (x^2 - 4x + 1)*(-3x^2 + 2)$

$r'(x) = -2x^4 +4x^2 +4x^3 -8x-3x^4 +12x^3 -x^2 -8x+2$

$r'(x) = -5x^4+16x^3+3x^2-16x+2$

Observe que essa questão também pode ser resolvida multiplicando as expressões das funções polinomiais e, em seguida, utilizando a regra do tombo, mas as regras de derivação são importantes e simplificam as resoluções. Nesse caso, teríamos:

$r(x) = (-x^3 +2x)*(x^2 -4x+1)$

$r(x) = -x^3 *x^2 -x^3 * (-4x) -x^3 +2x*x^2+2x*(-4x)+2x$

$r(x) = -x^5+4x^4+x^3-8x^2+2x$

$r'(x) = -5x^4+16x^3+3x^2-16x+2$

Para mais informações sobre derivada, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/38549705

#SPJ2